Polígono Regular de las áreas en proporción de 3:2

Question

Dos polígonos regulares, están inscritos en el mismo círculo de radio de $r$. Primero ha $k$ lados y la segunda ha $p$ lados. Estamos dado que su razón de las áreas $1.5$. Calcular el área de un polígono regular inscrito en el mismo círculo, habiendo número de lados, la suma de los otros dos números.

Área de la primera polígono: $$A_k = \frac{1}{2}\cdot k \cdot r^2 \cdot \sin\bigg(\dfrac{2\pi}{k}\bigg)$$ y el área de la segunda: $$A_p = \frac{1}{2} \cdot p \cdot r^2 \cdot \sin\bigg(\dfrac{2\pi}{p}\bigg)$$ También se $\frac{A_k}{A_p} = 1.5$ (asumiendo $k>p$ WLOG) Así

$$\frac{A_k}{A_p} = \frac{k}{p} \cdot \frac{\sin\bigg(\dfrac{2\pi}{k}\bigg)}{\sin\bigg(\dfrac{2\pi}{p}\bigg)} = 1.5$$

Ahora, obviamente: $$A_{k+p} = \frac{1}{2} \cdot (k+p) \cdot r^2 \cdot \sin\bigg(\dfrac{2\pi}{k+p}\bigg)$$ Pero no sé cómo continuar, es decir, cómo encontrar una relación entre los pecados.

Answer 1

Existen posibilidades limitadas para$n$, debido a que necesitamos $n\ge3$ para obtener cualquier área y también a $\frac32\frac n2\sin\frac{2\pi}n<\pi$ debido a que el mayor polígono tiene que ser menor que el de la circunferencia circunscrita. Así podemos enumerar las posibilidades: $$\begin{array}{r|l}n&\text{Area}\\\hline 3&1.299\\ 4&2.000\\ 5&2.378\\ 11&2.974\\ 12&3.000\\ 13&3.021\\ \end{array}$$ Por lo $n=5$ es demasiado grande, ya $1.5\times2.378>\pi$. $3$ no va a funcionar porque $1.5\times1.299$ no coincide con nada. Así que nos queda con $n=4$ para los más pequeños de polígono, de manera que el área del polígono más grande es $1.5\times2.000=3.000$, y esto coincide con $n=12$. El final de polígono debe tener $n=4+12=16$ lados con área de $$A=\frac{16}2\sin\frac{2\pi}{16}=8\sin\frac{\pi}8=4\sqrt{2-\sqrt2}$$ Así que, en realidad @Toby Mak la respuesta resultó ser correcta en que las zonas que fueron de hecho racional.

EDIT: Dado que sólo una posibilidad es factible es fácil comprobar que para $n=4$ $$A=\frac42\sin\frac{2\pi}4=2\sin\frac{\pi}2=2$$ Mientras que para $n=12$ $$A=\frac{12}2\sin\frac{2\pi}{12}=6\sin\frac{\pi}6=3$$ De modo que la identidad es exactamente satisfecho.