Raíz de $x^{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}}} = a$ donde $a > 0$ puede ser resuelto por darse cuenta de la ecuación se puede transformar a $x^a = a$. Tomando el logaritmo de base $a$ en la ecuación, tenemos $$a \cdot \log_a{x} = 1$$ or $$\log _a x=\frac{1}{a}.$$ This equation has the following solution: $$x=\sqrt[a]{a}.$$ So far it seems to be fine, but notice that both solutions of $$x^{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}}} = 2$$ and $$x^{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}}} = 4$$ are $\sqrt{2}$. ¿Qué está pasando?
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Rémy Bourgoin
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Marcus Aurelius
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Vamos a hacer este riguroso. Considerar el mapa de $f: x \mapsto x^x$. La iteración de esta manera se consigue lo que quieres...suerte.
Elegir un compacto intervalo de la recta real. Su HIPÓTESIS será que el límite de la secuencia de $f(c), f(f(c)), ...$ donde $c$ está en el intervalo de tiempo que usted eligió, es un número que obtuvo su registro de truco. (De hecho, si a todo esto es que el número, hay a menudo de las condiciones en que TIENE que ser ese número y nada más).
Pero para demostrar que el poder de la torre alcanza ese valor, es necesario considerar la secuencia anterior (función de iteración) y demostrar que converge.
Usted debe trabajar para usted que esta lógica se rompe donde señaló exactamente a causa de este fracaso de la función de iteración de la secuencia converge.
\begin{align*} 0 &= \frac{\partial^2}{\partial h^2}(h F'(x)) = \frac{\partial^2}{\partial h^2}(F(x + ah) - F(x - (1 - a)h))\\ &= a^2 F''(x + ah) - (1 - a)^2 F''(x - (1 - a)h). \quad \forall x \in \mathbb{R},\ h > 0 \end---
También me gusta el uso de la Banach teorema de punto fijo para estos tipos de problemas.
La reducción del punto fijo de Banach teorema de a $\mathbb{R}$ es decir: dado un intervalo compacto, y una función que se asigna el compacto de intervalo, de tal manera que la función es Lipschitz con algunos de relación constante $\leq 1$ (esto se conoce como asignación de contracción debido a que se reduce distancias), hay un punto fijo en ese intervalo y la secuencia de $f(c), f(f(c)), f(f(f(c)))...$ converge para $c$ en ese intervalo.
Este es el más conocido teorema de punto fijo (y la más fácil de demostrar) que dice algo acerca de la existencia de puntos fijos, un algoritmo para el cálculo de ellos, y una poderosa declaración acerca de su atractivo. Esta última propiedad es la que garantiza un finito, convergente número si usted toma el infinito composición $f(f(f(f...$ de un solo número. (¿Por qué se tiene un número fijo cuando el látigo de su calculadora y mantener la perforación cos() para algún argumento inicial? Y admitirlo, usted ha hecho esto.)
Este enfoque podría no siempre funciona porque a veces es difícil encontrar una región donde la función es un mapa, pero si usted puede hacer esto fácilmente y probar el mapa es contratantes, usted puede apelar a este teorema, sin analizar el comportamiento de algunos posiblemente artificial de la secuencia.
LoveTooNap29
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En lugar de empezar con $a$ y pregunte cuál $x$ satisface el poder de la torre y, posiblemente, converge a $a$ tal que $x^a=a$, considerar la posibilidad de proceder de la manera opuesta.
Deje $1< x \leq 3^{1/3}$ y definen $x_n$ recursivamente por $x_1=x$ $x_{n+1}=x^{x_n}$ todos los $n$. Tenga en cuenta que $(x_n)$ es creciente, bordeada por encima y así por el MCT, converge a un número $a$ tal que $a=x^a$, mediante la continuidad de la función exponencial $x^y$ donde $x$ es fijo. Para ver esto, el uso de la inducción. Nota:$x_2-x_1=x(x^{x-1}-1)\geq 0$, lo que muestra el caso base. Si $x_n \leq x_{n+1}$ desde $x^y$ es una función creciente de $x>1$ tenemos que $x^{x_n}\leq x^{x_{n+1}}$, es decir, $x_{n+1}\leq x_{n+2}$ (nota todas las $x_n >1$). Claramente $x_1 \leq 3$ e si $x_n \leq 3$$x_{n+1}=x^{x_n} \leq x^3\leq (3^{1/3})^3=3$. Por lo tanto $(x_n)$ está delimitado por $3$. La última, por el MCT tiene un límite, llame a $a$, y sabemos $a=\lim x_{n+1}=\lim x^{x_n}=x^{\lim x_n}=x^a$ por la continuidad de $x^y$. Así que hemos atado ningún cabo suelto.
Desde $x=\sqrt{2}$ satisface la primera desigualdad, tenemos que el poder de la torre de $\sqrt{2}$ limita a un valor de $a$ tal que $a=\sqrt{2}^a$. La única opción posible es, $a=2$ ya que debemos tener $x_n\leq 3$.
