Un campo que es conservador, debe tener un rizo de cero en todas partes. Sin embargo, me preguntaba si el contrario tiene por funciones continuas en todas partes: si la curvatura es cero, es el campo conservador? Por favor alguien puede darme una explicación intuitiva y la penetración en esto, y si es cierto, ¿por qué? También, por favor, trate de no ser demasiado riguroso (sólo en el grado 9).
Respuestas
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Emilio Novati
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Cualquier conservador campo de vectores $F :U \to \mathbb{R}^3$ es irrotacional, es decir,$\mathbf{curl} (F)=0$, pero lo contrario es cierto sólo si el dominio de $U$ es simplemente conectado (vea aquí un ejemplo clásico).
No necesariamente. Mira el siguiente potencial de $A%$ definida de alguna región:
Los asociados de campo vectorial $F=\mathrm{grad}(A)$ tiene este aspecto:
Ya que es un degradado, ha $\mathrm{curl}(F)=0$. Pero podemos completar en la siguiente todavía curl-free vector de campo:
Este campo vectorial es curl, pero no conservador porque va alrededor del centro de una vez (con un integrante) no produce cero.
Esto sucede debido a que la región en la que $F$ se define no es simplemente conectado (es decir, que tiene un agujero). Si usted está interesado sólo en campos vectoriales sobre todo de $\Bbb R^3$, entonces estás a salvo: $\Bbb R^3$ simplemente se conecta y cada rizo-gratis campo vectorial es conservativo.
liammclennan
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Hay que tener en cuenta que un campo vectorial no es sólo un conjunto de funciones, sino también un dominio. Por ejemplo, el campo de vectores $\mathbf{F} = \left<-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right>$ en el conjunto de $U = \left\{(x,y) \neq (0,0)\right\}$ tiene un rizo de cero. Pero no es conservador, porque la integración alrededor del círculo unitario resultados en $2\pi$, no cero como se predijo por el camino de la independencia.
Por otro lado, el mismo vector de campo restringido a $U' = \left\{x>0\right\}$ es conservador. Una función potencial es $f(x,y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$.
La diferencia es que el $U'$ es simplemente conectado, mientras que $U$ no lo es. En realidad, esta es una simbólica de la versión de M. Invierno gráfica del ejemplo.
