Demostrar que un grado $6$ polinomio tiene exactamente $2$ verdaderas raíces

Question

Tengo la función $f(x)={7x^6+8x+2}$ y estoy tratando de probar que $f$ tiene exactamente 2 raíces reales.

Lo que he hecho:

El único tipo de La solución que he encontrado es esencialmente adivinar pares de valores para $x$ que dan $f$ un signo diferente y luego hacer uso del Teorema de Bolzano.

Más concretamente:

• $f(-1)=1>0$ y $f(-{1\over 2})=-{121\over 64}<0$ por lo que, de acuerdo con el Teorema de Bolzano, hay alguna $x \in (-1, -{1 \over 2})$ tal que $f(x)=0$ .
• $f(-{1\over 2})=-{121\over 64}<0$ y $f(0)=2$ por lo que, de acuerdo con el Teorema de Bolzano, hay alguna $x \in (-{1 \over 2}, 0)$ tal que $f(x)=0$ .

Pregunta:

La solución anterior parece un poco meh para mí y no creo que demuestre que hay exactamente 2 raíces reales, sino que sólo se encontraron 2. ¿Hay una forma mejor y más convincente de demostrar la existencia de exactamente ¿2 raíces?

Answer 1

Sugerencia: por La regla de los signos de Descartes la ecuación no tiene raíces reales positivas, y a lo sumo $2$ negativos. Pero has demostrado que tiene al menos una raíz real (y es suficiente que $\,f(-1/2) \lt 0 \lt f(0)\,$ para ello), entonces debe tener una segunda real, ya que las raíces complejas no reales vienen en pares conjugados.

Answer 2

$$f''(x)=7\cdot6\cdot5x^4\geq0,$$ que dice que $f$ es una función convexa.

Así, $f$ tiene dos raíces máximas y por su trabajo obtenemos dos raíces exactamente.

Answer 3

Sugerencia

Hasta ahora has demostrado que hay al menos 2 soluciones.

Si la función tuviera 3 o más soluciones, entonces por el Teorema de Rolle, $f'$ tendría al menos 2 soluciones.

Answer 4

Lo tenemos:

$f(x)=7x^6+8x+2$ . Sobre la diferenciación,

$f'(x)=42x^5+8$ que tiene una solución y la solución es $x=-0.718$ . Ahora puedes estar seguro de que tu ecuación polinómica tiene como máximo dos raíces. Para demostrar exactamente dos raíces, divide la recta real en dos intervalos $(-\infty,-0.718]$ y $[-0.718,\infty)$ . Ahora, puedes comprobar (usando el signo de la derivada) que en el primer intervalo la función es decreciente y en el segundo intervalo la función es creciente.

Además, observe que la función toma valores positivos al final del intervalo y negativos en la vecindad de su punto crítico que es $-0.718$ . ¿Adivinas qué significa esto? Esto significa que la función corta el eje x dos veces. En el primer y segundo intervalo. Por lo tanto, la función tiene exactamente dos raíces.

Answer 5

$f'(x)$ =42 $x^5$ +8
$f''(x)$ =210 $x^4$
ahora puede observar que la doble derivada de su función es siempre positiva para todos los valores de x en $R$ y también que
$f'(x)$ es negativo para x=-1 y positivo para x=1, por lo que $f'(x)$ es cero al menos una vez (USANDO IMVT) pero como $f''(x)=0$ no tiene una raíz real por lo tanto, $f'(x)=0$ tiene una sola raíz real.
Y ahora usando el TEOREMA DE ROLLE, podemos decir que $f(x)=0$ tiene como máximo dos raíces reales o digamos al menos 4 raíces complejas.Ahora bien, como $f(x)$ es negativo en x=-1/2 y positivo en x=-1. Por lo tanto, $f(x) =0$ tiene una raíz real.
Ya que hay al menos 4 raíces complejas, pero se dan en pares, por lo que pueden ser 6 o 4. Pero ya tenemos una solución para $f(x) =0$ hay 4 soluciones complejas o exactamente 2 raíces reales.