Una conjetura sobre los números de la forma $10^{m}(2^{k}1)+2^{k-1}1$ , donde $m$ es el número de dígitos decimales de $ 2^{k-1}$ .

Question

Pregunta

Números $n$ de la forma $10^{m}(2^{k}1)+2^{k-1}1$ , donde $m$ es el número de dígitos decimales de $ 2^{k-1}$ . Por ejemplo:

• $k=1$ entonces $n=10$ .
• $k=2$ entonces $n=31$ .
• $k=3$ entonces $n=73$ .
• $k=4$ entonces $n=157.$

Conjetura:

el número $(2^k-1)\cdot 10^m+2^{k-1}-1$ donde $m$ es el número de dígitos decimales de $2^{k-1}$ nunca es primo cuando es de la forma $7s+6$ es decir, cuando es congruente con $6$ $\pmod 7$ . Ejemplos: $n=1023511$ ( $k=10$ ) $\equiv 6 \pmod 7$ y por lo tanto es compuesto $(1023511=19\times103\times523)$ , $n=20471023$ ( $k=11$ ) $\equiv 6 \pmod 7$ y por lo tanto es compuesto ( $20471023=479\times42737)$ . Con PFGW llegamos a $k=565000$ y todos los $n's$ congruente con $6 \pmod 7$ son compuestas. Según los cálculos de Giovanni Resta en un post que ha sido cancelado, no debería haber ningún primo probable congruente con 6 $\pmod 7$ hasta k=800.000. El residuo $6$ $\pmod 7$ se produce cuando $m=6t+3$ y $k=3l+1$ o $m=6t+4$ y $k=3l+2$ con $k$ y $l$ algunos enteros no negativos, pero sorprendentemente cuando ocurre el número no es primo. ¿Puedes encontrar un contraejemplo o dar una prueba de la conjetura? Aquí un enlace a otras preguntas interesantes: ¿Hay un número de la forma $f(n)=7k+6=5p$ con el primo p? y ¿Por qué todos los residuos se presentan en esta secuencia similar? Para primos de esta forma ver: La Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros El siguiente vector contiene todos los exponentes k<=366800 que conducen a un primo

$[2, 3, 4, 7, 8, 12, 19, 22, 36, 46, 51, 67, 79, 215, 359, 394, 451, 1323, 2131, 3336, 3371, 6231, 19179, 39699, 51456, 56238, 69660, 75894, 79798, 92020, 174968, 176006, 181015, 285019, 331259, 360787, 366770]$

Exponente $541456$ conduce a otro primo probable con residuo 5 mod 7 y 325990 dígitos, pero no tiene por qué ser el siguiente en orden creciente.

Observación: hemos encontrado cinco primos probables en una fila con res 5 mod 7. Los primos probables con residuo 5 son ahora dos veces más frecuentes de lo esperado. Los exponentes de estos primos parecen NO ser aleatorios en absoluto. Otra cosa que noté, no sé si tiene alguna importancia: los exponentes que llevan a un primo probable $215, 69660, 92020, 541456$ son múltiplos de $43$ . Me he dado cuenta de que $\frac{215}{41}, \frac{69660}{41}, \frac{92020}{41}, \frac{541456}{41}$ todos tienen una expansión decimal periódica igual a $\overline{24390}=29^3+1$ . Esto equivale a decir que cuando k es un múltiplo de 43 y el número $10^{m}(2^{k}1)+2^{k-1}1$ es primo, entonces k es de la forma $41s+r$ donde r es un número del conjunto (1,10,16,18,37). ¿Hay alguna razón matemática para ello?

Answer 1

Según su lista, un contraejemplo, si existe, debe tener más de $60,000$ dígitos. Por lo tanto, un contraejemplo sería un primo bastante gigantesco.

Por desgracia, una prueba de la conjetura estará casi con toda seguridad fuera de nuestro alcance.

La búsqueda de un contraejemplo también puede ser dolorosa, es muy posible que el más pequeño sea ya demasiado grande para los algoritmos actuales de comprobación de la primalidad.

Answer 2

@peter me habló de esto y me pareció muy interesante.
Hice esto herramienta para que cualquiera pueda ayudar a la computación. Basta con descargar y ejecutar para participar. Sólo tienes que actualizar la página para actualizar las estadísticas.

Con 30-40 personas, llegar a $n=10^7$ no debería ser muy largo.