Trivial ejemplo de un espacio-tiempo para el cual necesitamos la verdadera definición de asintótica planitud?

Question

Asintótica planitud básicamente significa que usted puede aplicar una de conformación de la transformación de su espacio-tiempo, de modo que se convierte en compacto, y se admite un límite de tener la misma estructura causal como el límite de espacio de Minkowski ($\mathscr{I}^-$, $i^0$, y $\mathscr{I}^+$). Diferentes personas se dan detalles diferentes para la definición, que parecen incluir requisitos adicionales, tales como la regularidad, no Ctc en el infinito, y no importa en el infinito. Para referencia, aquí es un no-paywalled discusión por Frauendiener. Wald también tiene un tratamiento del tema en la cad. 11.

Si me voy con mi repertorio de interesantes soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein, los principales ejemplos son aquellos para los cuales es obvio que son asintóticamente plana (Schwarzschild) o obvio que no son asintóticamente plana (cosmológico spacetimes, que no tienen materia regiones libres). En ninguno de estos casos veo mucha motivación para todo el lujo de la maquinaria involucrada en la definición. Puede alguien sugerir un pequeño ejemplo (o más de uno) que ayudaría a dar una motivación?

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Answer 1

Sólo para empezar, yo diría que la formalización de la estructura asintótica es importante la comprensión de la descamación teorema, por lo que incluso el aburrido casos como el de Kerr son interesantes (para mí) en ese sentido.

Pero para ser un poco más selectivos, es de suponer que realmente importa, y más cuando las cosas han interesante dependencia del tiempo, por lo que hay diferencias sustanciales entre spacelike y nulo el infinito - y entre los diferentes segmentos de la nula infinitos.

Por eso, las soluciones exactas, el más interesante que puedo pensar es en la Vaidya métrica. Por el valor aproximado de las soluciones, se han Teukolsky ondas. Eso es probablemente donde las cosas empiezan a ponerse más interesante, porque la dependencia angular puede ser muy trivial. Así, por ejemplo, puede que desee medir la radiación de un agujero negro perturbado - como se aproxima por el Teukolsky solución. Para ello, es probable que desee utilizar Bondi masa y los ímpetus, que se definen de forma explícita el uso de asintótica planitud. Usted probablemente podría tener un lío tratando de tomar a lo largo de los límites de saliente null rayos, por ejemplo, pero, al final, acababa de terminar la reconstrucción de las nociones básicas de asintótica planitud.

Y, por supuesto, usted también tiene el negro-agujero binario fusiones, para lo cual hemos post-Newtoniana aproximaciones y simulaciones numéricas. Las ondas gravitacionales extraído de estas se miden en el futuro null infinito, y el comportamiento de coordenadas (y), en el barrio de $\mathscr{I}^+$ son importantes para la extracción de ellos correctamente. (Por supuesto, me gustaría decir que, ya que es uno de los ejes principales de mi investigación.)

Tomando un paso atrás, sólo voy a señalar que los límites de asintóticamente plana spacetimes son importantes porque son invariantes. Tenga en cuenta que yo no he dicho que los puntos o sin duda alguna las coordenadas de los límites de las superficies son invariantes (ver BMS transformaciones especialmente), pero las superficies de los mismos. Así que, más que de manera arbitraria la elección de, por ejemplo, coordinar esferas o segmentos de tiempo en la mayor parte de espacio-tiempo, puede al menos reducir el calibre de la libertad de los objetos geométricos que estamos discutiendo, que tiende a hacer que los resultados de un poco más de invariantes.