¿Cuál es la distribución de esta serie al azar?

Question

Deje $\xi_n$ ser iid y distribuidos de manera uniforme en los tres números de $\{-1,0,1\}$. Set $$X = \sum_{n=1}^\infty \frac{\xi_n}{2^n}.$$ Es claro que la suma converge (seguramente) y el límite de ha $-1 \le X \le 1$..

¿Cuál es la distribución de $X$?

¿Tiene un nombre? Podemos encontrar una fórmula explícita? ¿Qué más podemos decir acerca de ella (por ejemplo, es absolutamente continua)?

Podemos ver que $X$ es simétrico (es decir,$X \overset{d}{=} -X$). También, si $\xi$ es distribuido uniformemente en $\{-1,0,1\}$ e independiente de $X$,$X \overset{d}{=} \frac{1}{2}(X+\xi)$. De ello se desprende que para el cdf $F(x) = \mathbb{P}(X \le x)$, tenemos $$F(x) = \frac{1}{3}(F(2x+1) + F(2x) + F(2x-1)). \quad (*)$$

La cdf de $\sum_{n=1}^{12} \frac{\xi_n}{2^n}$ tiene este aspecto:

Se ve algo como $\frac{1}{2}(1+\sin(\frac{\pi}{2}x))$ pero que no acaba de funcionar (no satisface (*)).

Me interesaría si nada se sabe acerca de esto. Gracias!

Answer 1

Esto es más de un comentario, de una respuesta, sin embargo es demasiado grande, y los gráficos no se pueden usar en los comentarios.

No es difícil de averiguar cumulants de $X$: $$ \kappa_X(r) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_\xi(r)}{2^{n}} = \frac{\kappa_\xi(r)}{2^r-1} = \frac{3^r-1}{2^r-1} \cdot \frac{B_r}{r} \cdot [ r \geqslant 2] $$ Obviamente, debido a la simetría impar cumulants y momentos que se desvanecen. Esto implica la siguiente bajos momentos de orden: $$ m_2 = \mathbb{E}(X^2) = \frac{2}{9}, \quad m_4 = \frac{14}{135}, \quad m_6 = \frac{106}{1701}, \quad \ldots $$

La distribución de la misma parece no ser absolutamente continua, basado en las simulaciones:

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Siguiente de Fabián pasos, es muy fácil que el código de cálculo de CDF en puntos racionales:

ClearAll[cdf];
cdf[x_?ExactNumberQ] /; x >= 1 := 1;
cdf[0] = 1/2;
cdf[x_?Negative] := 1 - cdf[-x];
cdf[x_Rational /; EvenQ[Denominator[x]]] /; -1 < x < 1 := 
  cdf[x] = (cdf[2 x] + cdf[2 x - 1] + cdf[2 x + 1])/3;
cdf[x_Rational] := (* set up linear equations and solve them *)
 Block[{f, den = Denominator[x], ru1, ru2, vals, sol, ru3},
  ru1 = {f[z_] :> Divide[f[2 z] + f[2 z + 1] + f[2 z - 1], 3]}; 
  ru2 = {f[z_ /; z <= -1] :> 0, f[z_ /; z >= 1] :> 1, 
    f[z_?Negative] :> 1 - f[-z]};
  ru3 = f[r_Rational /; Denominator[r] < den] :> cdf[r];
  vals = Table[f[k/den], {k, den - 1}] /. ru3;
  sol = Solve[(((vals /. ru1) //. ru2) /. ru3) == vals, 
    Cases[vals, _f]];
  Function[{arg, res}, Set[cdf[arg], res]] @@@ 
   Cases[vals, f[a_] :> {a, f[a] /. First[sol]}];
  cdf[x]
  ]

Así, por ejemplo,

In[101]:= cdf[1/5]

Out[101]= 31/49

El acuerdo con las simulaciones es excelente: