A la inversa Galois problema, lo que es bueno para?

Question

Hace varios años asistí a un coloquio hablar de un experto en la teoría de Galois. Él motivó a algunos de sus trabajos en su relación con la inversa de Galois problema. Durante la charla, un chico de la audiencia se preguntó: `¿por qué debería yo, como un número teórico, debe preocuparse por la inversa de Galois problema?"
Debo decir que como un joven estudiante de postgrado, que trabaja en la teoría de Galois, me quedé sorprendido o incluso tal vez sorprendido de esta cuestión. Pero después, me di cuenta de que yo debería haberle preguntado a mí mismo esta pregunta hace mucho tiempo.

Se puede plantear razones para convencer a un matemático (y no simplemente teórico) de la importancia de la inversa de Galois problema? o tal vez ¿por qué es poco importante si usted quiere arruinar la fiesta ;)

Answer 1

Para mí, es una de esas preguntas que no sería tan interesante si la respuesta es Sí, pero que probablemente sería muy interesante si la respuesta es No. Si no todos los grupos son grupos de Galois sobre Q, entonces es probable que exista algún tipo de estructura, que puede ser considerada como una obstrucción, y, a continuación, esta estructura probablemente sería esencial saber acerca de. Por ejemplo, no todos los grupos son grupos de Galois sobre los campos locales, que tienen que ser resueltos. Esto es por las propiedades básicas de la mayor ramificación de filtración, que es, sorpresa, esencial para conocer acerca de si usted quiere entender los campos de la región. Así que se podría decir que es un enfoque a la búsqueda más profunda de la estructura en la absoluta Galois grupo. ¿Por qué no hacerlo directamente? El problema con directamente buscando la estructura es que no es una pregunta de sí/no, y así, a veces se pierde la pista de qué es exactamente lo que estás haciendo (aunque en la nueva y fértil de los sujetos a menudo no se tiene). Así que la inversa de Galois problema tiene la ventaja de ser una pregunta de sí/no y la ventaja de que las cosas iban a ser muy interesante si la respuesta es No. Por desgracia, creo que la respuesta que se espera a ser que Sí, aunque me corrija si estoy equivocado.

Answer 2

La pregunta no es realmente mi negocio, pero me puede dar una acción de respuesta. Podría ser una buena respuesta en el sentido de que se convence a un extraño como yo.

La parte más estrecha de la versión de la inversa de Galois problema, encuentre todos los grupos de Galois de finito extensiones de $\mathbb{Q}$, no puede ser todo lo que de interesante. Una mejor pregunta sería la siguiente: sea $G$ ser un grupo finito y dejar que $\mathbb{F}$ ser un campo de característica 0 (o más en general, un campo perfecto). ¿Puede describir el conjunto (o espacio de moduli si te gusta) de todas las extensiones de Galois de $\mathbb{F}$ más de $G$? Por ejemplo, si $G = C_2$, es una buena pregunta con una buena respuesta; la pregunta es un modelo de toma de las raíces cuadradas de los elementos de $\mathbb{F}$. Con ese caso especial en mente, siempre es una buena pregunta. Puede ser considerado como una teoría de la nonabelian surds.

Si para un determinado campo de $\mathbb{F}$ y un finito dado de grupo $G$, usted incluso no sabe si hay puntos en el espacio de moduli de extensiones de Galois grupo $G$, entonces usted apenas sabe nada. En particular, $\mathbb{Q}$ es un campo importante, y hay muchos específicas de grupos finitos para que las personas ni siquiera saben que mucho.

Answer 3

Las respuestas anteriores son en su punto; permítanme decir un poco más.

En primer lugar, el IGP como un problema es un disipador, no una fuente (o algo con tanto hacia adentro y hacia afuera de flujo!): No sé de ninguna que no sea trivial consecuencias de asumir que cada finito grupo de más de Q (o incluso a través de cada Hilbertian campo) es un grupo de Galois. Esto no significa que sea una mala problema: lo mismo ocurre con el Último Teorema de Fermat.

Como con el FLT, si IGP eran fáciles de demostrar, entonces sería de poco interés. (Como un buen ejemplo, si usted sabe del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, es fácil probar que cada finito abelian grupo se produce como un grupo de Galois de p: ¿Qué dice esto acerca de la máxima abelian extensión de Q? No mucho, la de Kronecker-Weber es el teorema de un orden de magnitud más profundo.) Pero como con el FLT, los casos especiales de la IGP que se han establecido el uso de una amplia gama de fascinantes técnicas y proporcionan un importante cruce de fronteras entre el álgebra y la geometría.

Sin duda, más interesante que el IGP en sí es lo normal, Inversa Galois Problema: para cualquier campo K y cualquier grupo finito G, existe una función regular campo K(C)/K(t) con grupo de Galois isomorfo a G. (Si K es Hilbertian -- por ejemplo, un campo global, entonces RIGP para K implica IGP para K.) Ahora RIGP es de gran interés en la aritmética geometría: dado cualquier grupo finito G hay infinitamente muchos espacios de moduli (Hurwitz espacios) adjunto el problema de darse cuenta de G regularmente sobre K (porque tenemos invariantes discretos que puede tomar una infinidad de valores posibles, como el número de puntos de ramificación). Si incluso uno de estos esquemas de Hurwitz tiene una K-racionales punto, entonces G se produce regularmente en K. En general, la sabiduría popular acerca de las variedades sobre los campos como Q es que deben de tener muy pocos puntos racionales distintos de los que fije la mirada en la cara. (Sí, es difícil o imposible para formalizar esto, precisamente.) Así que es algo razonable decir que la posibilidad de que una determinada Hurwitz espacio-por ejemplo de tipo general-tiene un P-racional punto es cero, pero, ¿qué acerca de la posibilidad de que al menos uno de infinidad de Hurwitz espacios, relacionadas entre sí por diversos functorialities, tiene un P-racional punto? Para mí que es uno de las matemáticas' más fascinantes preguntas: para conocer la respuesta , de cualquier manera sería tremendamente emocionante.

Answer 4

Yo personalmente conozco a ningún aplicaciones inmediatas de un resultado positivo (o negativo) respuesta a la inversa Galois problema. Al mismo tiempo, el problema me parece un útil estándar contra el cual evaluar matemática progreso.

Respondiendo a la inversa Galois problema solucionable extensiones de la clase la teoría de campo (uno de los pináculos de principios del siglo 20 matemáticas). Esto puede ser visto como evidencia de que la capacidad para resolver la inversa Galois problema supondrá una comprensión más profunda de una variedad de matemática cosas.

Answer 5

Bauer Teorema (una simple consecuencia de la Chebotarev Densidad Teorema) establece que un número finito de Galois de la extensión de K de una expresión algebraica campo de número de F está determinada únicamente (como subield de algunos fijos clausura algebraica de F) por el conjunto de los números primos de F, que se divide completamente en K. por Lo tanto conocer todos los posibles grupos de Galois es el mismo como el conocimiento de todas las posibles división de leyes en lo finito extensiones de Galois. Ser capaz de describir estos división de las leyes en algunos explícito la moda es, básicamente, "nonabelian reciprocidad", que es EL problema más importante en la teoría algebraica de números, por lo que la "inversa Galois problema" es de FUNDAMENTAL importancia para todos número de teóricos.