Intuitivamente, parece que el área de un cuadrado debe ser siempre mayor que la longitud de uno de sus lados, porque se puede "encajar" en uno de sus lados en el espacio de su área, y aún así tener espacio de sobra.
Sin embargo, cuando la longitud de un lado, $s$, es menor que $1$, entonces el área de $s^2 < s$. Lo que no tiene sentido para mí por la razón anterior.
Yo creo que tu intuición está fallando porque usted está tratando de comparar un 1 dimensiones del objeto (la longitud de un lado) con un 2-dimensiones del objeto (la zona del interior de la plaza). Puede adaptarse a las cargas de los segmentos en un cuadrado de cualquier tamaño, infinitamente muchos, de hecho! Esa comparación no significa realmente nada.
Por otro lado, he aquí una comparación que tiene sentido: Establecer un cuadrado de lado de longitud $s$ side-by-side con un rectángulo cuyos lados se $s \times 1$. Ahora estás comparando una zona a otra. El rectángulo del área que se ajuste dentro del cuadrado si y sólo si $s>1$.
Porque eres la incomprensión de las unidades. La primera suposición es que un cuadrado con un lado de la $1$ tiene un área de $1$ - que la suposición es incorrecta.
Un cuadrado con un lado de $1000$ $m$ / $1$ $km$ / $0.001$ $Mm$ tiene un área de $1$ $km^2$, $1000000$ $m^2$, o $0.000001$ $Mm^2$ (square-Mega-metros), dependiendo de cómo se eligió a los presentes . Es todo acerca de la presentación, no las propiedades matemáticas.
Lo que usted necesita para comprender intuitivamente es que al duplicar la longitud del lado de un cuadrado, se obtiene 4 veces el área. Y por la reducción de la lado a la mitad de la reducción de la zona a un trimestre, independientemente de las unidades.
Una vez que la comprensión intuitiva, se anulará su comprensión actual. Sabiendo que las áreas de reducir "más rápido" que las longitudes de lado, es obvio que en un cuadrado con un lado de longitud de $1$ grok y un área de $1$ grikk, al reducir la longitud lateral de la zona tiene para reducir más rápidamente que el del lado de la longitud mismo es cierto para un cuadrado con un lado de longitud de $42$ gruk y un área de $42$ grakk: el área se reducirá más rápidamente que el del lado de longitud.
Tome un cuadrado con dimensiones de $\cfrac 12 ft * \cfrac 12 ft $. El área $\cfrac 14$ $ft^2$. Esto tiene perfecto sentido. Te voy a mostrar lo que quiero decir.
$\cfrac 12 ft* \cfrac 12 ft$ = $6 in*6 in$
El área es $36$ $in^2$ es igual a $1/4$ $ft^2$.
Siempre se puede tomar un cuadrado con la longitud de los lados $x$$0<x<1$, pero puede convertir esta $x$ a otra unidad $>0$. Por lo tanto, el área que ahora tendría sentido.
Estás comparando manzanas con naranjas. Las longitudes y las áreas se miden en unidades diferentes.
La manera más intuitiva es considerar las unidades a ser parte de la medición. La longitud puede ser de tres metros (el mismo que 118.11 pulgadas), pero nunca tres. Área = longitud al cuadrado, los cuales nueve metros cuadrados (no solo nueve). Ahora usted puede ver que 118.11 es mucho mayor que 9, si las unidades no están incluidos como parte de la medición.
Para poder comparar, el área de ambos. Por ejemplo, ¿cuál es el área de uno de los lados del cuadrado? Desde los lados son líneas, su espesor es de cero, y que por lo tanto no tienen área (o cero).
Desde un punto de vista físico, si tienes en cuenta su longitud y el área como tener unidades (por ejemplo,$\mathrm{m}$$\mathrm{m}^2$), su pregunta no tiene sentido : no se puede comparar ambas cantidades, igual que no se puede comparar una longitud y una hora.
Cuando se habla de la 2-D plano como $\mathbb{R}^2$, usted puede comparar $x$$x^2$. Y geométricamente hablando:
$\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}$ y $\mathopen{[} 0, 1 \mathclose{]}$ tienen la misma cardinalidad, por lo que se puede considerar que el cuadrado y su lado tienen el mismo número de puntos.
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