Mostrar $x^n \geq x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n \Bigg\vert x_1+x_2+\ldots+x_k = x, x \geq 0, n \geq 1, k\in\mathbb{Z}$

Question

Hola StackExchange De La Comunidad,

Este es mi primer post en el foro. Por favor perdóname por cualquier error con el formato y mis expresiones. Estoy trabajando en la siguiente prueba:

Espectáculo $$x^n \geq x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n \Bigg\vert x_1+x_2+\ldots+x_k = x, x \geq 0, n \geq 1, k\in\mathbb{Z}$$

Es decir, me gustaría mostrar que un número positivo elevado a $n\geq1$ es mayor que la suma de cualquier conjunto de sumandos cada uno elevado a $n$.

Lo tengo anotado hasta el momento:

Veamos $x^n \geq (\frac{x}{2})^n+(\frac{x}{2})^n$

$x^n \geq2 \frac{x^n}{2^n}$

$x^n \geq 0$

$1 \geq \frac{2}{2^n}$

$2^n \geq 2$

$n \geq 1$, lo verdadero.

Es obvio que $x^n \geq k(\frac{x^n}{k^n})$ también es cierto (por $k$ $x_k$ que son todos iguales).

Puedo hacer la $x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n$ parecerse a $k(\frac{x}{k})^n$? Bueno, si $x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n < k(\frac{x}{k})^n$, entonces también es menos de $x^n$ (demostrando problema original).

$k \geq 0$

$\frac{k^n}{k}(x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n) < x^n$

Siento que debo utilizar la información $x_1+x_2+\ldots+x_k = x$

$\frac{k^n}{k}(x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n) < (x_1+x_2+\ldots+x_k)^n$

No estoy seguro de cómo revisar mis pensamientos y continuar. Aprecio mucho los comentarios y preguntas; gracias de antemano por la publicación! :)

Con respecto,

Cortés Maestro

Answer 1

Lamentablemente la idea no conduce a una solución, debido a que se distribuye en forma pareja dará el mínimo posible de la suma. Observe que la única $n$-ésima potencia es de hecho todavía una suma de $k\ $ $n$-th potencias de números que tienen la misma suma, y por lo tanto, esencialmente el problema es acerca de la maximización de la suma de los $n$-th facultades que le confiere la suma de $k$ sin números negativos. Un enfoque simple sería ver que si se puede demostrar que $a^n + b^n \le (a+b)^n$ para cualquier valor no negativo real $a,b$, entonces usted puede utilizar $(k-1)$ veces para probar el resultado. Lo ves?

Answer 2

Tomar cualquier trasera número de $0\le y\le1.$ a Continuación, supongamos que $$1=(y+(1-y))^n\ge y^n+(1-y)^n$$ is true for any $n\in\mathbb{N}.$
Tomar cualquier $x_1,x_2\ge 0$ y poner $y=\dfrac{x_1}{x_1+x_2}$ $$\implies(x_1+x_2)^n\ge x_1^n+x_2^n$$ Now induct on $k.$

Answer 3

Quiere mostrar que $(x_1+x_2+\cdots+x_k)^n \ge x_1^n+x_2^n+\cdots+x_k^n$ siempre que cada una de las $x_i$$\ge 0$. Pero esto es obvio si se expanda el lado izquierdo: usted recibirá todos los términos de $x_1^n,x_2^n,\ldots,x_k^n$, además de algunos de los términos negativos.

Con esto en mente, usted debería ser capaz de demostrar la proposición más formalmente, el uso de la inducción en $k$.

Answer 4

He aquí alguna cosa que he probado si se puede ayudar!Básicamente he utilizado el trivial AM-GM.

$$x_1^n+x_2^n+x_3^n+...+x_k^n\geq k(x_1*x_2*x_3*...*x_k)^\frac{n}{k}$$

También

$$x_1+x_2+x_3+...+x_k\geq k(x_1*x_2*x_3*...*)^\frac1k$$

$$x\geq k(x_1*x_2*x_3*...*)^\frac1k$$

$$x^n\geq k^n(x_1*x_2*x_3*...*)^\frac nk$$

Ni idea de que a partir de aquí.