Homotopy de fibra de inclusión de espacios proyectivos equivalente a la esfera de $S^3$

Question

Considerar la inclusión mapa $S^2=\mathbb{C}P^1 \overset{f}{\to} \mathbb{C}P^\infty$ ($\mathbb{C}P^\infty$ es la suma de [límite] de $\mathbb{C}P^n$s) y la asignación de espacio de $E_f\subseteq \mathbb{C}P^1 \times {(\mathbb{C}P^\infty)}^I$ con un fibration $p_f: E_f \to \mathbb{C}P^\infty$ tal que $p_f(c,\omega)=\omega(1)$. Demostrar que la fibra $F_f$ $p_f$ (también conocido como el homotopy de fibra de $f$) es homotopically equivalente con $S^3$.

En otras palabras, quiero demostrar que una familia de rutas (con compacto-abierta topología) en $\mathbb{C}P^\infty$ a partir de a $\mathbb{C}P^1$ y terminando en algún punto fijo (es decir, también en $\mathbb{C}P^1$) es equivalente a $S^3$.

He pensado mucho sobre eso, pero tengo muy poca experiencia con espacios proyectivos y sin ninguna idea de cómo mapa de $F_f$ $S^3$o de cómo de alguna manera se deforman para hacerlo más pequeño y más similar a la de la esfera... Alguna pista?

Answer 1

Una sugerencia podría ser la siguiente:

Usted tiene un homotopy de fibra de secuencia $$ F_f \to S^2 \to \mathbb{C}P^\infty.$$

Mira el largo exacto homotopy secuencia. ¿Qué se puede deducir acerca de $\pi_i(F_f)$$i=0,1,2,3$ ? Para obtener un candidato para un mapa entre $S^3$ $F_f$ que podría ser un homotopy equivalencia vistazo a la parte de la larga secuencia exacta en la que se lee como:

$$ \dots \to \pi_4(\mathbb{C}P^\infty) \to \pi_3(F_f) \to \pi_3(S^2) \to \pi_3(\mathbb{C}P^\infty) \to \dots $$

Ahora tratamos de demostrar que este candidato induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos, a continuación, aplicar Blancos, el teorema de la conclusión de su reclamo.

Si usted tiene más preguntas, estoy feliz de llenar en los detalles donde usted quiere que yo :)

Answer 2

Otro enfoque puede ser la siguiente.

Echemos un vistazo a la acción de la unidad de cuaterniones $S^3<\mathbb{H}^*\subseteq \mathbb R^4$$S^\infty \subseteq \bigoplus\mathbb R^4$. Para la acción de la $S^1<S^3$ tenemos un fibration:

$$S^1\to S^\infty \to S^\infty/S^1 =\mathbb CP^\infty$$ y para la acción de la $S^3$ tenemos: $$(*)~~S^3\to S^\infty \overset{q}\to S^\infty/S^3 = BS^3.$$

No es difícil darse cuenta de que $S^3/S^1\to S^\infty/S^1 \to BS^3$ es también un fibration y el primer mapa es el estándar de la inclusión del mapa. De lo anterior tenemos un Puppe secuencia: $\Omega BS^3 \to S^2 \to \mathbb CP^\infty \to BS^3$ y todo lo que necesitamos es mostrar que $\Omega BS^3 \simeq S^3$.

Echemos un vistazo a otro (diferente de $*$) fibration por encima de $BS^3$: el espacio de las rutas de $P(BS^3,p)$ $BS^3$ comenzando en un punto de $p \in BS^3$ con el mapa evaluación de las rutas de $1$: $P(BS^3,p)\overset{e_1}\to BS^3$. Podemos hacer un mapa de $S^\infty $ $P(S^\infty,p')$usando el hecho de que $S^\infty$ es contráctiles y más a $P(BS^3,p)$ por el cociente mapa de $q$. Vamos a denotar el conjunto de la composición por $h$. Tenemos la igualdad de $q=e_1 \circ h$ $h$ es homotopy de equivalencia (ambos espacios son contráctiles), por lo $h$ es una fibra homotopy de equivalencia, lo que demuestra que las fibras de ambos fibrations son equivalentes $S^3\simeq \Omega BS^3$.