$f(a+b)=f(a)+f(b)$ pero $f$ no es lineal

Question

¿Puede mostrarme un continuo función $f \colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ que satisface $f(a+b)=f(a)+f(b)$ ¿pero no es lineal?

Tenemos que $$f(0)=f(0+0)=2f(0)\implies f(0)=0\\ f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0\implies f(-x)=-f(x)\\ f(nx)=f(x+x+\dots+x)=f(x)+\dots+f(x)=nf(x)\quad \forall n \in \mathbb{N}$$ Pero $$ f(-nx)=-f(nx)=-nf(x) $$ Así que: $$ f(ax)=af(x) \quad \forall a \in \mathbb{Z} $$

Answer 1

Nadie puede, porque una función continua $f \colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ Satisfaciendo a $$ f(x+y)=f(x)+f(y) $$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^n$ es lineal.

La prueba es bastante fácil.

1. $f(ax)=af(x)$ para todos $a\in\mathbb{Z}$ y $x\in\mathbb{R}^n$

2. $f(\frac{a}{b}x)=\frac{a}{b}f(x)$ para todos $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ y todos $x\in\mathbb{R}^n$

3. $f(rx)=rf(x)$ para todos $r\in\mathbb{R}$ y todos $x\in\mathbb{R}^n$ .

Para el último paso, si $r\in\mathbb{R}$ Consideremos una secuencia $q_k$ en $\mathbb{Q}$ convergiendo a $r$ . Entonces $q_kx$ es una secuencia en $\mathbb{R}^n$ convergiendo a $rx$ y $q_kf(x)$ es una secuencia en $\mathbb{R}^m$ convergiendo a $rf(x)$ . Por continuidad de $f$ , $$ f(rx)=f(\lim_{k\to\infty}q_kx)= \lim_{k\to\infty}f(q_kx)= \lim_{k\to\infty}q_kf(x)= rf(x) $$

Answer 2

El contraejemplo general para una función que satisface $$ f(a+b)=f(a)+f(b) $$ pero no ser lineal es tomar una Bases de Hamel y actuando con diferentes mapas lineales sobre los elementos de dicha base.