Deje $G$ ser un compacto de Lie del grupo y $\left\langle ,\right\rangle $ ser una izquierda invariantes métricos en $G$; $\omega$ ser un diferencial positivo $n$-forma en $G$ que se deja invariante. Considerar la métrica $(,)$ en $G$ da por: $$ \left(u,v\right)=\int_{G}\left\langle (dR_{x})_{y}u,(dR_{x})_{y}v\right\rangle _{yx}\omega$$ No es muy difícil demostrar que esta a la izquierda invariables, pero me pregunto cómo mostrar que $\left(,\right)$ es derecho-invariante?
Respuesta
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stevemac
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Dado $u, v \in T_yG$ arbitrariamente, $$(d(R_g)_yu, d(R_g)_yv)_{yg} = \int_G \left\langle d(R_x)_{yg}(d(R_g)_yu),~ d(R_x)_{yg}(d(R_g)_yv) \right\rangle_{ygx}~\omega,$$ por definición. La Regla de la Cadena implica que $d(R_x)_{yg}d(R_g)_y = d(R_x \circ R_g)_y = d(R_{gx})_y$, por lo que la expresión anterior se convierte en $$\int_G \left\langle d(R_{gx})_yu,~ d(R_{gx})_yv \right\rangle_{y(gx)}~\omega.$$ Ahora, si definimos $f: G \rightarrow \mathbb{R}$$f(x) = \langle d(R_x)_yu,~d(R_x)_yv \rangle_{yx}$, lo que tenemos es $$\int_G f(gx) ~\omega = \int_G L_g^*(f\omega) = \int_G fw,$$ donde la primera igualdad se mantiene debido a $\omega$ -invariante y la última igualdad es el Cambio de Variables Teorema.
