Un mathmatical manera de resolver para $x$ $(a + b)^2 = a^x + b^x$

Question

Este problema ha sido una distracción me para bastante tiempo. He encontrado algunos valores de x con diferentes valores de a y b usando la fuerza bruta, pero no podía encontrar algún patrón en los resultados. Me preguntaba si había una mejor manera de resolver para x.

Aquí es una solución que he encontrado: si $x = 2.446481944$ (aprox.) a continuación, $4^x + 5^x = (4 + 5)^2 = 81$

Answer 1

Como Robert Israel comentado, no hay solución explícita para$x$, salvo en unos pocos casos, tales como $a=b^n$ $(n=0,1,2,3,4)$ donde el problema se reduce a los polinomios.

Así, para el caso más general, se necesita algún método numérico y la más sencilla es probablemente la de Newton, teniendo en cuenta que buscamos el cero de la ecuación $$f(x)=a^x+b^x-(a+b)^2=e^{x\log(a)}+e^{x\log(b)}-(a+b)^2$$ Without loss of generality, let us assume $a>b$ and rewrite $$e^{x\log(a)}=(a+b)^2-e^{x\log(b)}$$ and search for the zero of equation $$g(x)={x\log(a)}-\log\left((a+b)^2-e^{x\log(b)} \right)$$ which is better conditioned. You can start iterating using $$x_0=2\frac{\log(a+b)} {\log(a)}$$ Using your numbers $a=5$ and $b=4$, método de Newton, se generará el siguiente iteración $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 2.730424778 \\ 1 & 2.489833783 \\ 2 & 2.447205870 \\ 3 & 2.446482135 \\ 4 & 2.446481944 \end{array} \right)$$, que es la solución para diez cifras significativas.

Si se hace una gráfica de la función $g(x)$, te darás cuenta de que es casi una línea recta; esto explica por qué la convergencia es tan rápido.