Métodos para mostrar un ideal en el anillo de números enteros $\mathcal{O}_K$ es un ideal apropiado

Question

Me preguntaba si había general "tácticas" para mostrar si un ideal en el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ donde $K/\mathbb{Q}$ es un campo de número de grado $n$.

Por ejemplo, considere el$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$$P = (2,1+\sqrt{5})$. Un método para mostrar que este es un buen idea es argumentar que si $a + b\sqrt{-5} \in P,$ $a+b\sqrt{-5} = 2x + y(1+\sqrt{-5})$ para los números enteros $x,y$ y la comparación de los coeficientes, obtenemos $a - b \equiv 0 \bmod 2,$ $P$ no puede ser el todo el anillo. Sin embargo, este método parece bastante laborioso, y este puede ser un caso especial cuando modding a cabo por un prime realmente funciona.

Para mí, el siguiente isomorfismo parece bastante intuitiva: como $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+5),$ debemos tener \begin{align*} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,1+\sqrt{5}) &\cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+5,2,1+x) \\ &\cong \mathbb{Z}/(6,2) \text{ by mapping } x \mapsto -1 \\ &\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{align*} así el ideal de $P$ es de hecho correcta. Pero me parece que no puede configurar una explícita isomorfismo en el momento, así que me preguntaba si esto funciona en general?

Además, hay técnicas útiles que uno podría utilizar para mostrar un ideal de hecho es la correcta?

Answer 1

Un "buen" ideal es cualquier ideal ", que es estrictamente menor que el todo el anillo", ¿verdad?

Es suficiente para mostrar que el ideal no contienen 1. Si el ideal contiene una unidad, también debe contener entre 1 y por lo tanto debe ser el todo el anillo.

En tu ejemplo, tenemos $\mathfrak P = \langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$, que es simplemente el conjunto de todos los números en este dominio de la forma $2x + y(1 + \sqrt{-5}) = a + b \sqrt{-5}$. La contribución de $2x$ $a$ $b$es incluso. Ciertamente, podemos optar $y$, de modo que $a = 1$, pero, a continuación, $b \neq 0$ como queremos, ya que, de hecho, $b$ debe ser impar para $a$ a un ser extraño.

No puedo configurar un isomorfismo, que es una deficiencia de la mía, pero es una especie de exageración si lo que desea es mostrar que un ideal es la correcta.

Answer 2

El conocimiento es un ideal de a $\mathfrak{a}$ que es correcto o no no es fácil si se acaba de calcular el tamaño de $\mathcal{O}_K/ \mathfrak{a}$ pensamiento de $\mathcal{O}_K$ como un entramado?.

Siempre y cuando usted sabe un $\mathbb{Z}$-base para $\mathcal{O}_K$ decir $\{ \gamma_1, \ldots, \gamma_n \}$ and you're given $\mathfrak{a}$ is terms of $\mathcal{S}_K$-generators say $ (\beta_1,\ldots,\beta_m)$ you can esaily find a $\mathbb{Z}$-basis $\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}$ for $\mathfrak{a}$ ( reducing the $\mathbb{Z}$-generators of $\mathfrak{a}$ $ \{\beta_i \gamma_j \}$ to a $\mathbb{Z}$-basis, for example by hermite form). Then you simply write $\alpha_i=\sum a_{ij} \cdot \gamma_j$ and $ | \mathcal{S}_K/ \mathfrak{a} |=|\text{det}(a_{ij})|$ would be $1$ iff $\mathcal{S}_K=\mathfrak{a}$.

En su ejemplo, $\{1, \sqrt{-5} \}$ $\mathbb{Z}$- base para $\mathcal{O}_K$, $\{2,2\sqrt{-5},1+\sqrt{-5}, (1+\sqrt{-5})\sqrt{-5} \}$ reduce a la $\mathbb{Z}$base $ \{1+\sqrt{-5},2 \sqrt{-5}\}$$P$, debido a la forma de hermite $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1\\ -5 & 1 \end{bmatrix} $$ es la matriz

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

y así $ | \mathcal{S}_K/ P |=\text{det}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$=2\neq 1$.

Answer 3

Estoy seguro de que hay una manera mucho mejor, pero sí funciona en general, asumiendo que conoce la multiplicación de la ley en $\mathcal{O}_K$ visto como un $\mathbb{Z}$ módulo.

Encontrar $r \in I \cap \mathbb{Z}$, la lista de todos los elementos del anillo finito$$R_0 = \mathcal{O}_K/(r)$$ a continuación, escriba $I = (u_1,\ldots,u_n)$ y la lista de todos los elementos de la finitos cociente de los anillos $$R_1= R_0/(u_1), \quad R_2= R_1/(u_2), \quad R_{m+1} = R_m/(u_{m+1})$$ You'll get $$I = \mathcal{O}_K \qquad \Longleftrightarrow \qquad \mathcal{O}_K / I = R_n = \{0\}$$

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Más en general, de la instalación $$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_k]/J$$ for some ideal $J$, and we want to know if $$\mathcal{O}_K= I \qquad \Longleftrightarrow \qquad (I,J) = \mathbb{Z}[X_1,\ldots,X_k]$$ existe un algoritmo para que el uso de la base de Gröbner