Intuición detrás del teorema clásico del virial

Question

Sigo repasando mi física estadística. Sólo quiero adquirir una mejor comprensión. He repasado el derivación del teorema clásico del virial una vez más. He pensado en ello, lo he buscado en Google y he dormido sobre ello. La declaración:

$$\langle x^i \frac{\partial \cal H}{\partial x^j} \rangle= kT \delta^i_j$$

sigue siendo contraintuitivo para mí. Así que estoy en una posición fija en el espacio de fase y estoy mirando mi Hamiltoniano. Luego me alejo de mi posición actual y observo cómo cambia el hamiltoniano y multiplico ese conocimiento por lo lejos que me he alejado de mi posición inicial. Hago esto muchas veces de forma aleatoria y luego saco una media. Et voilá, he llegado a la temperatura de equilibrio de un sistema.

En este momento esto es sólo algunos cálculos a mí (que entiendo perfectamente) para calcular la temperatura de un sistema de partículas en equilibrio térmico. ¿Hay algo más? ¿No lo entiendo? ¿Cuál es la intuición que hay detrás de esto?

Answer 1

La conclusión -la afirmación del teorema del virial- no es "sólo algo de matemáticas" porque todos los objetos de la afirmación tienen una interpretación física. Así que es física y tiene grandes implicaciones en la física teórica y en la física aplicada.

La derivación es una derivación matemática, pero no es correcto adjuntar la irrespetuosa palabra "sólo" a una derivación matemática. Las derivaciones matemáticas son las más sólidas y las únicas verdaderamente sólidas que se pueden tener en la ciencia. Por el contrario, son las derivaciones y las intuiciones las que no matemáticos que deben ir acompañados de la palabra "justo" porque son inferiores. En cambio, lo correcto es ajustar la propia intuición para que sea compatible con los resultados más sólidos de la física -y son los resultados formulados matemáticamente. Por cierto, hay varias derivaciones - que tratan del conjunto microcanónico, del conjunto canónico, etc. Los detalles de la prueba difieren en estas variaciones, pero la conclusión física general es compartida e importante.

La demostración exacta del teorema no puede simplificarse demasiado -de lo contrario, la gente lo haría-, pero se pueden ofrecer demostraciones heurísticas y aproximadas para las versiones aproximadas del teorema del virial y sus casos especiales. Por ejemplo, la cantidad del valor de la expectativa contiene la derivada de $H$ con respecto a una coordenada. Cuanto mayor es la derivada, más aumenta el Hamiltoniano con la coordenada, y más aumenta el factor de Boltzmann $\exp(-H/kT)$ de la distribución canónica disminuye con la coordenada, lo que hace que el valor de la expectativa de la coordenada sea menor. Así que si volvemos a multiplicar la cantidad por la coordenada, obtenemos algo que se comporta de forma constante, independientemente de la pendiente. Y efectivamente, el valor de la expectativa del producto sólo depende de la temperatura.

Este teorema es importante en la física estadística porque la física estadística trata del cálculo de promedios estadísticos de varias cantidades, el teorema nos permite expresar algunos valores de expectativa de una manera más simple, y $x_i \cdot \partial H / \partial x_j$ se encuentran entre las cantidades más sencillas e importantes cuyos promedios estadísticos pueden ser calculados o interesantes. Por lo tanto, conviene saber cómo se comportan.

Un caso especial importante del teorema que mencionas se refiere al cálculo del valor de la expectativa de la energía cinética y de la energía potencial. La primera es $n/2$ veces este último para potenciales de ley de potencia de la forma $ar^n$ por ejemplo. Así sabemos qué porcentaje de la energía se almacena en la cinética y qué parte es la energía potencial. Por ejemplo, tanto la energía cinética como la potencial contribuyen en un 50% en el caso de un oscilador armónico $r^2$ potenciales. Para el Kepleriano o Coulomb $-C/r$ potencial, es decir $n=-1$ la energía potencial es negativa, $-|V|$ y la energía cinética es $+|V|/2$ , reduciendo la potencial en un 50% mientras se mantiene la energía total negativa. Hay muchas otras cosas que podemos aprender del teorema en diversas situaciones - y en clases de situaciones.

Answer 2

El sentido de utilizar expresiones como $$\langle x^i \frac{\partial H}{\partial x^j} \rangle $$ no es necesariamente obtener información sobre cualquier sistema general sino para obtener una herramienta de estudio sistemas específicos o al menos clases de sistemas caso por caso.

Por ejemplo, en la dinámica newtoniana/galileana, la mayoría de los sistemas de interés podrán expresarse en coordenadas tales que su hamiltoniano tenga la forma separable $$H = T(p_i) + V(x^i) $$ Consideremos ahora la proximidad de un equilibrio no degenerado , que es un punto $x^i_0$ tal que $\partial V/\partial x^j (x^i_0)$ pero todos los valores propios de la matriz $V_{ij} \equiv \partial^2 V/ \partial x^j \partial x^k (x^i_0)$ son positivas (es decir, la matriz de la segunda derivada es no degenerada y positiva-definida). Entonces podemos hacer una transformación a $\delta x^i = x^i-x^i_0$ y el Hamiltoniano puede ser reexpresado en la forma $$H = T(p_i) + \frac{1}{2}V_{ij}\delta x^i \delta x^j + \mathcal{O}(\delta x^3)$$ (Suponiendo que Convención de suma de Einstein .) En ese caso podemos decir que cerca del equilibrio $x^i_0$ $$\delta x^k\frac{\partial H}{\partial x_l} = \delta x^k V_{lj}\delta x^j$$ (Descartar automáticamente $\mathcal{O}(\delta x^3)$ a partir de ahora). Si pone $k=l$ y sumando los índices se obtiene $$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}(x^i) = \delta x^l V_{lj}\delta x^j \approx 2 (V(x^i) - V(x^i_0))$$ En otras palabras, $\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}$ tiene el significado de aproximadamente el doble de la diferencia de energía potencial en comparación con el equilibrio.

En principio, si se conoce la matriz $V_{ij}$ , conociendo a cada uno $\delta x^k \partial H/\partial x^l$ también permite calcular la distancia aproximada $\delta x^i$ del sistema lejos del equilibrio del potencial. También puedes utilizar algún análisis dimensional para hacer una estimación aproximada de la liberación completa del sistema desde el equilibrio. Supongamos que a partir de la física del sistema entiendes que el potencial está asociado a una escala de energía de enlace $E_{\rm b}$ y que la matriz de la segunda derivada va como $V_{ij} \sim E_{\rm b}/L_{\rm V}^2$ donde $L_{\rm V}^2$ es una longitud de variabilidad. A continuación, se puede estimar que el sistema permanece ligado mientras $$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}(x^i) \lesssim E_{\rm b}$$ También vemos que una condición equivalente es $|\delta x| \lesssim L_{\rm V} $ que es también la condición para el pequeño- $\delta x$ las expansiones anteriores para que sean válidas.

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Hasta ahora sólo he hablado de la mecánica clásica, no de la física estadística. Ahora, para simplificar, cambiemos nuestro sistema de coordenadas de manera que $x^i_0 = 0$ y luego $$\langle x^k \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle \approx 2 \langle V_{lj}x^j x^k \rangle$$ La afirmación de que para $k\neq l$ esto es cero significa simplemente que las fluctuaciones en direcciones "ortogonales de energía" no están correlacionadas. Esto puede entenderse especialmente bien si se gira a una base en la que $x^i$ son vectores propios de $V_{ij}$ (es decir, una base donde $V_{ij}$ es diagonal). El $k=l$ (¡sin la suma de Einstein!) te da la correlación de las fluctuaciones "relacionadas con la energía" sobre el equilibrio potencial.

Por ejemplo, una vez utilizado el teorema del virial y la estimación de la regla del pulgar para sistemas acotados cerca del equilibrio, obtenemos una condición para que el sistema permanezca acotado como $$\langle x^l \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle \approx 2n\langle V - V_{\rm eq}\rangle = n k_{\rm B} T \lesssim E_{\rm B}$$ (aquí $n$ es el número de grados de libertad). Es decir $\langle x^l \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle$ permite analizar en detalle si el sistema se mantiene en equilibrio, si alcanza otros equilibrios locales, etc., etc.

Por supuesto, esto es sólo un ejemplo de una clase de sistemas. Hay sistemas con equilibrios degenerados para los que la discusión cambia en algunos detalles, pero el significado general del término $\langle x \partial H/\partial x\rangle$ es similar. En la mecánica cuántica hay que utilizar un análisis similar para responder si la temperatura es suficiente para excitar un grado de libertad al menos con un único salto cuántico y si, por tanto, debe incluirse en la suma de estados. En astrofísica también se discuten a menudo sistemas en los que el teorema virial es muy importante pero el potencial gravitatorio es $\sim 1/|x - x'|$ entre cada dos partículas. Sin embargo, el significado del término $\langle x \partial H/\partial x\rangle$ no es del todo universal y se vuelve particularmente turbia en la física relativista. Así que, como dije al principio, el teorema del virial proporciona una herramienta útil para clases específicas de sistemas, pero quizás no para todos los sistemas.