Ejemplos de surjective gavilla de morfismos que no son surjective en secciones

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico, y deje $\mathscr{F}, \mathscr{G}$ ser poleas de los conjuntos en $X$. Es bien sabido que una de morfismos $\varphi : \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ es épico (en la categoría de poleas en $X$) si y sólo si la inducida por el mapa de los tallos, $\varphi_P : \mathscr{F}_P \to \mathscr{G}_P$ es surjective para cada punto de $P$$X$, pero la sección de mapas de $\varphi_U : \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U)$ no necesita ser surjective. Yo sé de un par de ejemplos de análisis complejo:

1. Deje $X$ ser perforado plano complejo, $\mathscr{F}$ la gavilla de meromorphic funciones, $\mathscr{G}$ la gavilla de la diferencia de $1$, y $\varphi$ el diferencial del mapa y, a continuación, $\varphi$ es épico y, de hecho, la secuencia de $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to 0$ es incluso exacto, pero hay mundial secciones de $\mathscr{G}$ que no son la imagen de una sección global de $\mathscr{F}$, por ejemplo, $z \mapsto \frac{1}{z} \, \mathrm{d}z$.

2. Deje $X$ ser perforado plano complejo nuevo, $\mathscr{F}$ la gavilla de meromorphic funciones, $\mathscr{G}$ la gavilla de la nada-cero meromorphic funciones, y deje $\varphi : \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ composición $\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$; a continuación, $\varphi$ es épica, pero de nuevo no llega a ser surjective (global) secciones: después de todo, no hay holomorphic función de $f : X \to \mathbb{C}$ tal que $\exp f(z) = z$ para todos los no-cero $z$.

Pregunta. Hay más simples ejemplos que no requieren de mucho conocimiento de fondo más allá de conocer la definición de las poleas y los tallos?

Answer 1

Tome $X=\mathbb R$ de su espacio topológico, la constante gavilla $\underline {\mathbb Z} $ $\mathcal F$ $\mathcal G$ la suma directa de dos rascacielos de poleas con fibras de $\mathbb Z$ en dos distintos puntos de $P,Q\in \mathbb R$$\mathcal G=\mathbb Z^P \oplus \mathbb Z^Q$.
El natural de restricción $\mathcal F=\underline {\mathbb Z} \to \mathcal G=\mathbb Z^P \oplus \mathbb Z^Q$ es un surjective gavilla de morfismos, pero el grupo asociado de morfismos en global secciones $\mathcal F(X)=\mathbb Z \to \mathcal G (X)=\mathbb Z \oplus \mathbb Z$ no es surjective [su imagen es la diagonal de $\mathbb Z \oplus \mathbb Z$, que consta de pares de $(z,w)$$z=w$].

Editar Este ejemplo puede ser fácilmente adaptado a tres puntos de espacio de espacio: gracias a Pierre-Yves, que en un comentario de Alex de la respuesta, sugirió que.

Tome $X=\{P,Q, \eta\}$ con conjuntos cerrados $X,\emptyset, \{P\}, \{Q\}, \{P,Q\}$ (este es el mismo espacio, como la de Alex).El resto es exactamente el mismo que el anterior. Es decir,$\mathcal F=\underline {\mathbb Z} $, $\mathcal G=\mathbb Z^P \oplus \mathbb Z^Q$, $\mathcal F=\underline {\mathbb Z} \to \mathcal G=\mathbb Z^P \oplus \mathbb Z^Q$ la restricción, que es de nuevo un surjective gavilla de morfismos, y $\mathcal F(X)=\mathbb Z \to \mathcal G (X)=\mathbb Z \oplus \mathbb Z \:$ no surjective (la imagen de nuevo la diagonal de $\mathbb Z \oplus \mathbb Z$).
El punto principal es que los tallos de $\mathbb Z^P$ son:
$(\mathbb Z^P)_P=\mathbb Z,(\mathbb Z^P)_Q=0, (\mathbb Z^P)\eta=0$, debido a $P$ es un cerrado de punto. Lo mismo para $\mathbb Z^Q$.

Tangencial comentario podría ser de algún interés para el aviso de que hay un esquema de la estructura en $X$, lo que la convierte en la más pequeña posible, no afín esquema. Esto se explica en el libro La Geometría de los Esquemas por Eisenbud y Harris, en la página 22.

Answer 2

Deje $M$ ser un suave colector, y considerar la gavilla de cerrado de 1-formas. Hay un surjection de la gavilla de las funciones lisas a la gavilla de cerrado de 1-formas (es decir, el exterior de derivados, $f \mapsto df$), que es surjective en la categoría de poleas (por el lema de Poincaré), pero que en general no surjective (si $M$ ha trivial primera de Rham cohomology).

Answer 3

Permítanme tan elemental como es humanamente posible:

$X=\{p,q_1,q_2\}$, que consta de sólo tres elementos! El abierto de los conjuntos de son $U_0=\{p\}$, $U_1=\{p,q_1\}$, $U_2=\{p,q_2\}$, y, por supuesto, el conjunto vacío y $X$. Definir $\mathscr{F}(U)=\mathscr{G}(U)=\mathbb{Z}$ sobre todos los no-vacío abierto conjuntos de $U$. Ahora, el truco va a estar en los mapas de restricción y los morfismos. Definir todos los mapas de restricción en $\mathscr{G}$ a ser la identidad, pero las restricciones $\mathscr{F}(X)\rightarrow \mathscr{F}(U_i)$, $i=1,2$ son la multiplicación por 2. Las restricciones de $\mathscr{F}(U_i)\rightarrow \mathscr{F}(U_0)$ son de nuevo los mapas de identidad (esto hace que la restricción de $X$ $U_0$a también se puede multiplicar por 2).

Definir $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ a ser la identidad en todos los bloques abiertos a excepción de $X$, donde es la multiplicación por 2. A continuación, $\phi(X)$ no es surjective, pero es surjective en todos los tallos (check!). Espero no haber cometido un error.

Answer 4

La declaración de que la sección de mapas no son siempre surjective para surjective mapa de las poleas es equivalente a la no exactitud de la functor de global secciones — o, equivalentemente, a la no trivialidad de la gavilla cohomology.

Ahora es fácil para construir cualquier número de ejemplos explícitos. Decir, tomar $X=S^1$, $\mathcal F$ a la gavilla de $\mathbb R$-valied funciones y $\mathcal G$ a ser la gavilla de $\mathbb R/\mathbb Z\cong S^1$valores de las funciones. Localmente, el mapa es surjective, sino $\operatorname{Coker}(\Gamma(\mathcal F)\to\Gamma(\mathcal G))$ es, por supuesto, $H^1(S^1;\mathbb Z)=\mathbb Z$.

(Bueno, podría decirse, es sólo una instancia del ejemplo Akhil da: $\mathcal G$ puede ser identificado con $\Omega^1(S^1)$ y el mapa con el de Rham diferencial. Por otro lado, tomar cualquier modelo finito de $S^1$ completamente finito ejemplo).

Answer 5

Ok, aquí hay otra respuesta. Vamos a por $j$ abierto de inmersión, $j_!$ ser el "menor grito" o "extensión por cero" functor. Tenga en cuenta que $j_!$ es de izquierda medico adjunto del functor $j^*$ de restricción de poleas en $X$ a las poleas en $U$, y que hay una transformación natural $j_!j^* \to \mathrm{Id}$; tenga en cuenta también que los tallos de $j_!$ una gavilla son los mismos que la gavilla en $U$, y cero en el exterior.

Entonces, si $\mathcal{F}$ es cualquier localmente constante gavilla en el espacio irreductible $X$, e $X = U_1 \cup U_2$ es una partición de a $X$ en dos adecuada abrir subconjuntos con inclusiones $j_1, j_2$, entonces el mapa de $j_{1!}(j_1^*\mathcal{F}) \oplus j_{2!} (j_2^*\mathcal{F}) \to \mathcal{F}$ es un surjection (como se verifica stalkwise). Sin embargo, afirmo que la $\Gamma(X, j_{1!} (j_1^* \mathcal{F})) = 0$ y lo mismo para el otro factor. He aquí la justificación: dado un valor distinto de cero de la sección de $j_! j_1^* \mathcal{F}$ es lo mismo que dar un abra la cubierta $\{V_\alpha\}$ del espacio, y las secciones de $\mathcal{F}$ $V_\alpha$ por cada $V_\alpha \subset U_1$ cero y para otros $V_\alpha$'s (por la definición de la extensión por cero); sin embargo, al menos uno de estos bloques abiertos (es decir, $V_\beta$) no debe estar contenida en $U_1$, y esto se cruzan todos los otros $V_\alpha$'s (incluso las que figuran en la $U_1$). Así, desde la sección debe ser cero en $V_\beta$, debe ser cero en todos los demás $V_\alpha$'s (por el local de la constancia).