Valor medio el teorema de la doble función derivable

Question

Deje $f:(0,\infty)\to \Bbb R$ ser una doble función derivable. En esta respuesta, se afirma que el MVT permite escribir $$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(\xi)h^2$$ for some $\xi\en (x,x+h)$.

No está claro para mí por qué esto debería ser el caso. El uso de la MVT, uno puede escribir $f''(\xi)h=f'(x+h)-f'(x)$ algunos $\xi\in (x,x+h)$. El uso de que, la demanda parafrasea a $$f(x+h)=f(x)+\frac{1}{2}f'(x)h+\frac{1}{2}f'(x+h)h$$ y no veo por que debería contener.

Estoy seguro de que estoy siendo estúpido, por lo tanto yo mucho de bienvenida aclaraciones.

Answer 1

Los argumentos básicos de la expresión exacta de la prueba (en los que no puedo dar aquí) de que esto funciona, vaya como sigue: Taylor teorema dice que $$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\underbrace{\frac12f''(x)h^2+ο(h^2)}$$ If we replace $x$ with $ξ$ (where $ξ$ is given by the MVT) in the underlined term we can get rid of the remainder $ο(h^2)$ and achieve an exact calculation of $f(x+h)$: $$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac12f''(ξ)h^2$$ Why then the approximation in the first place? The MVT says there exists such an $ξ$ pero no ofrece una manera de encontrarlo, por lo que la aproximación de Taylor teorema es realmente útil.

Answer 2

Cuál es la respuesta utiliza no es realmente de Lagrange M. V. T. pero en lugar del Teorema de Taylor, que también hasta el tercer término, es decir, la segunda derivada, ya que se ha mencionado explícitamente que la función es dos veces diferenciable.

En cuanto a la segunda parte, es decir,

No está claro para mí por qué esto debería ser el caso. El uso de la MVT, uno puede escribir $f''(\xi)h=f'(x+h)-f'(x)$ algunos $\xi\in (x,x+h)$. El uso de que, la demanda parafrasea a $$f(x+h)=f(x)+\frac{1}{2}f'(x)h+\frac{1}{2}f'(x+h)h$$ y no veo por que debería contener.

No hay ninguna razón válida para que esto no debería contener. Si usted organizar la expresión un poco, $$f(x+h)=f(x)+\frac{1}{2}f'(x)h+\frac{1}{2}f'(x+h)h$$ o $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{2}f'(x)+\frac{1}{2}f'(x+h)$$ $$2f'(\alpha)=f'(x)+f'(x+h)$$ para algunos adecuado $\alpha \in (x,x+h)$

Así que no hay nada de malo con esto.