¿Cuál es la correcta definición del valor absoluto de $x$, $|x|$?
$$ |x|= \begin{cases} -x&\text{if } x < 0\\ 0& \text{if } x=0\\ x&\text{if } x>0 \end{casos} $$
$$ |x|= \begin{cases} -x&\text{if } x \leq 0\\ x&\text{if } x>0 \end{casos} $$
$$ |x|= \begin{cases} -x&\text{if } x < 0\\ x&\text{if } x\geq 0 \end{casos} $$
¿Qué acerca de la Opción D? Que es:
$$|x|=\begin{cases}-x & x<0\\ x^2 & x=0,x=1\\ x & \text{otherwise}.\end{cases}$$
Con toda seriedad, hay infinitamente muchos (aparentemente) distintas maneras de definir a $|x|$ a trozos, pero al final, son precisamente los mismos. Todo lo que tienes que hacer es elegir uno.
Hay muchas formas equivalentes describiendo $|x|$ como una función de la $x$, lo que acerca de: $\max\{x,-x\}$?
Es importante recordar que la forma de describir un conjunto no es importante, lo importante es el conjunto en sí.
Puedo decirle que se tome tres derechos; o yo podría decir que usted tome una izquierda. La entrada es la misma y el resultado es el mismo, y eso es lo que importa.
En el contexto de los números reales hay varias maneras de describir el valor absoluto, y todos ellos son el mismo.
Una función es una regla y un dominio en el que esa regla se lleva a cabo. Si, para dos funciones, la regla y el dominio son los mismos, entonces las dos funciones son las mismas. Para que quede claro, que dio varias reglas diferentes, pero todos ellos son equivalentes, es decir, todos están de acuerdo en que para cualquier $x$ insertar. Y todos ellos tienen el mismo dominio. Por lo tanto, son todos la misma función. La definición es mejor sólo depende de lo que usted está trabajando.
Por ejemplo, cuando usted quiere encontrar la $\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$, en cualquiera de sus definiciones estará bien, y todo el trabajo mejor que decir $|x| = \max\{x, -x\}$ o $\sqrt{x^2}$.
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1$$
Pero, en otras situaciones, tal vez usted prefiere $\sqrt{x^2}$, por alguna razón.
Formulario C es el más elegante, porque se rompe el problema exactamente en el derecho de los casos: el subdominio de $x$ para que algo se tiene que hacer para producir el valor absoluto, y un subdominio que ya es idéntico a su valor absoluto. Sólo si $x$ es negativo, ¿hemos de negar, de lo contrario dejarlo como está.
La opción B es simplemente tonto. ¿Por qué incluir a 0 en el dominio que requiere de la negación?
La opción a es detallado, pero tiene una cierta simetría. En cualquier caso, es mejor que B, porque al menos en lo que respecta a 0 como especial (que por lo general, aunque no específicamente en esta situación), en lugar de aglutinación con los negativos.
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