Encontrar el valor del determinante $|M^2+MN^2|$ y determinar si $U$ es una matriz cero o no

Question

Dejemos que $M$ y $N$ ser dos $3\times 3$ matrices tales que $MN=NM$ . Además si $M\neq N^2$ y $M^2=N^4$ entonces cuál o cuáles son los posibles valores de el determinante $|M^2+MN^2|$ ? También si hay un $3\times 3$ matriz $U$ tal que $(M^2+MN^2)U=O$ podemos decir si $U$ es una matriz cero o ¿una matriz distinta de cero?

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Mi intento:

$|M|=\pm|N|^2$ (de $M^2=N^4$ )

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$(M-N)(N-M)=M^2-N^2$ (como $MN=NM$ )

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$M^2=N^4$

$\implies MMN=N^5$

$\implies NMMN=N^6$

$\implies MNMN=N^6$

$\implies (MN)^2=N^6$

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De la misma manera, $M^6=(MN)^4$

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Esto es lo que he podido deducir de la información dada. ¿Cómo debo proceder a partir de aquí para resolver la cuestión?

Answer 1

En primer lugar, observemos que $M$ y $N^2$ ir al trabajo porque $M$ y $N$ hacer. Por ello, podemos escribir $$0 = M^2 - N^4 = (M-N^2)(M+N^2).$$ Esto nos dice que $|M+N^2| = 0$ ya que si no lo fuera, podrías multiplicar ambos lados por la inversa $(M+N^2)^{-1}$ para encontrar $0 = M - N^2$ y por lo tanto $M = N^2$ , lo que no está permitido.

Pero $M^2 + MN^2 = M(M+N^2)$ Por lo tanto $$|M(M+N^2)| = |M||M+N^2| = |M| \cdot 0 = 0.$$

En cuanto a la segunda parte, no se puede decir nada sobre $U$ . Por ejemplo, tome $M = -I$ y $N = I$ . Estos cumplen las condiciones, pero $M^2 + MN^2 = 0$ , así que obviamente $(M^2 + MN^2)U = 0$ para cualquier matriz $U$ .