patrones en las expansiones decimales de raíces cuadradas y cúbicas adyacentes

Question

Por diversión hice una tabla en Excel que evaluaba las raíces cuadradas y cúbicas de números enteros en orden ascendente. Luego, del resultado, extraje los dígitos del primer, segundo y tercer decimal, y luego los codifiqué por colores (usando el código de colores de las resistencias).

Curiosamente, encontré varios patrones "reflejados" (o ascendentes-descendentes) que sólo puedo explicar a través de las capturas de pantalla adjuntas (inténtalo con las raíces cúbicas: patrones similares)...

¿Puede alguien averiguar qué está pasando aquí? ¿Estoy haciendo una pregunta equivocada desde el principio? ¿Se debe simplemente a la forma en que Excel evalúa los valores decimales?

Gracias.

Answer 1

Resumiendo:

• El hecho de que $\sqrt{x}$ es casi lineal cuando $x$ no cambia mucho los resultados en el patrón repetitivo: $\sqrt{a},\sqrt{a+1},\sqrt{a+2},\dots,\sqrt{a+n}$ se comporta como una secuencia aritmética para $n\ll a$ .
• La corrección de segundo grado de la aproximación lineal en torno a $a$ es simétrica en torno a $a$ lo que da el patrón reflejado (simétrico).

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Tomemos por ejemplo el patrón más largo, el de alrededor de $\sqrt{400}$ . Haciendo la hipótesis de primer grado para $\sqrt{x}$ en torno a $x=400$ produce $$ \sqrt{x} \approx 20 + \frac{x-400}{2\sqrt{400}} = 20 + \frac{x-400}{40}. $$ Si conectamos $x=382$ en esa aproximación, obtenemos $$ \sqrt{382} \approx 19.55, $$ que se aproxima bastante al valor real. En otras palabras, la aproximación lineal es bastante precisa para los valores de este patrón. Veamos qué valores da la aproximación lineal: $$ \begin{align*} 400 &&& 20.0 \\ 401 &&& 20.025 \\ 402 &&& 20.05 \\ 403 &&& 20.075 \\ 404 &&& 20.1 \\ 405 &&& 20.125 \\ 406 &&& 20.15 \\ 407 &&& 20.175 \\ 408 &&& 20.2 \\ 409 &&& 20.225 \\ 410 &&& 20.25 \\ \end{align*} $$ ¡Tada! Ahí está el patrón: el segundo decimal es $0,2,5,7,0,2,5,7,\dots$ ad infinitum. Como los valores reales son un poco más pequeños que los que da la aproximación lineal, se ve el patrón $9,2,4,7,9,2,\dots$ hasta que el error entre el valor real y la aproximación crezca lo suficiente.

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Pero eso sólo explica la repetición. ¿Por qué el patrón reflejado?

Hagamos una aproximación de 2º grado en torno a $x=a$ ¡! $$ \sqrt{x} \approx \sqrt{a} + \frac{x-a}{2\sqrt{a}} - \frac{(x-a)^2}{8\sqrt{a}^3} $$ Ahora el término de corrección $- \frac{(x-a)^2}{8\sqrt{a}^3}$ es simétrica en torno a $x=a$ . Así, cuando la aproximación lineal deja de dar los decimales correctos, el término de corrección cambia los valores en la misma cantidad y en la misma dirección para $x=a+b$ y $x=a-b$ . Esto hace que la simetría cuando el patrón repetitivo cerca de $x=a$ falla.