Calcular un "mejor ajuste" de puntos discretos a partir de una expansión multipolar, es decir, invertir los momentos multipolares

Question

Toma un campo $\phi(\bf{x})$ creada a partir de una distribución de carga contenida en un radio $R$ . La expansión multipolar en armónicos esféricos $Y_{\ell,m}$ fuera de $R$ se aproxima por:

$$ \phi({\bf x}) \approx \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\ell_{MAX}} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{4\pi}{2\ell +1} \alpha_{\ell, m} \frac{Y_{\ell,m}(\theta, \phi)}{r^{\ell +1}} $$

Dado sólo el conjunto finito de los momentos multipolares $\alpha_{\ell,m}$ ¿es posible encontrar una distribución de carga de $N$ cargos discretos $(q_i, r_i, \theta_i, \phi_i)$ que "mejor se adapte" a este potencial? Ahora mismo estoy usando un simple buscador de mínimos sobre el $3^N$ variables (ver nota 1), pero me pregunto si hay algún trabajo/observación previa sobre la inversión de los momentos multipolares.

Nota 1

Si las posiciones de las cargas son fijas, las magnitudes de carga $q_i$ son simplemente combinaciones lineales:

$$ \alpha_{\ell, m} = \sum_i^N q_i Y^*_{\ell,m}(\theta_i, \phi_i) r_i^\ell $$

por lo que un simple álgebra lineal da la carga más ajustada magnitudes .

Nota 2

Es fácil ver que esta distribución de cargas no tiene por qué ser única, de hecho si $\ell_{MAX}=0$ cualquier combinación tal que $\sum_i^N q_i \propto \alpha_{0,0}$ debería funcionar. Está bien, me preocupa más encontrar buenas aproximaciones que el mejor ajuste absoluto.

Nota 3

Si las magnitudes de carga son reales (lo cual es un hecho para un problema físico), el número de momentos únicos se reduce aproximadamente en un factor de 2 ya que:

$$ \alpha_{\ell,-m} = (-1)^m \alpha_{\ell,m}^* $$

Answer 1

Este problema tiene una solución única si sólo se permiten cargas de un signo; se conoce como el problema del momento y es uno de los problemas centrales de la teoría de la medida. El artículo de wikipedia sobre ella debería ser un buen punto de partida para leer sobre ella.

Sin embargo, como señala Luboš, para un medida firmada el problema del momento suele ser indeterminado. Una forma de expresarlo es que hay un gran conjunto de distribuciones de carga para las que todos los momentos desaparecen. (Esto incluye, por ejemplo, todas las distribuciones de carga acotadas con una envoltura conductora alrededor). No conozco resultados para encontrar soluciones en el caso indeterminado, pero plantear el problema en estos términos podría ayudar.

Answer 2

Para un determinado $\alpha_{\ell,m}$ (es decir, para un término dado en su potencial), es sencillo encontrar un conjunto de $2^\ell$ cargas cuyo potencial será exactamente el mismo que ese término de orden principal. De hecho, hay formas sistemáticas de hacerlo: se puede crear una "base" para que cada $\alpha_{\ell,m}$ tiene un conjunto particular de cargas asociadas. El problema es que si las cargas y sus separaciones son finitas, su potencial también incluirá términos de orden superior que "desordenarán" el acuerdo entre su potencial y el que se intenta igualar. El $\ell$ El orden de la ley estará de acuerdo, pero los órdenes superiores no lo estarán.

Sin embargo, si se toma el $2^{\ell}$ cargas y apretarlas entre sí dejando que sus magnitudes aumenten de tal manera que $\alpha_{\ell,m}$ no cambia, es decir, el orden principal de su potencial permanece constante, entonces los términos de orden superior se reducen rápidamente. En el límite ideal eso significa sustituir su $2^\ell$ cargos con un $\ell$ multipolar de orden. Dependiendo de tus necesidades analíticas o numéricas, podrías detenerte en el límite infinitesimal y mantener las cargas y sus separaciones finitas, pero perderás precisión en los términos de orden superior del potencial.