Supongamos que el proceso se detiene después de un número finito de pasos, produciendo sólo un conjunto finito $\mathcal P$ de los puntos (y también sólo un número finito de líneas). Deje $P_1,\ldots, P_n\in\mathcal P$ ser los vértices de la convex hull $\mathcal P$.
Si $n>4$, $P_3P_4$ $P_4P_5$ no puede ser paralelo a $P_1P_2$, de ahí que uno de ellos se cruza con $P_1P_2$ en un punto de $Q\in\mathcal P$. Pero $Q$ está fuera de $P_1\cdots P_n$, contradicción.
![enter image description here]()
Si $n=4$, de manera similar a la conclusión de que $P_1P_2\|P_3P_4$$P_2P_3\|P_4P_1$, es decir, el 4-gon es un paralelogramo. Deje $O$ ser la intersección de $P_1P_3$$P_2P_4$. Como $P_1,P_2,P_3,P_4,O$ no puede ser nuestra original de cinco puntos, existe $Q\in\mathcal P\setminus\{P_1,P_2,P_3,P_4,O\}$. Suponga $Q$ es un punto interior de la 4-gon. A continuación, una de las cuatro líneas de $P_iQ$ cruza el límite de nuestras 4-gon en un no-vértice $S\in \mathcal P$. Por otro lado, si $Q$ no es un punto interior, él mismo es un no-vértice del límite de punto, es decir, podemos tomar $S=Q$. Wlog. $S$ está en el borde $P_1P_2$ y es estrictamente entre $P_1$$P_2$. A continuación, las líneas de $P_3S$ $P_4P_1$ se cruzan fuera de la 4-gon, contradicción.
![enter image description here]()
Por último, considere el caso de $n=3$. Suponga que la línea de $P_1P_2$ no contiene puntos de a $\in\mathcal P$ con la excepción de $P_1,P_2$ a sí mismos. A continuación, todos los puntos de $\mathcal P$ están en el triángulo de límite como un punto interior $Q\in\mathcal P$ llevaría a $P_3Q\cap P_1P_2$. Si $Q_1\in\mathcal P$ es un límite entre $P_2$ $P_3$ $Q_2\in\mathcal P$ es un límite entre $P_1$$P_3$, $P_1Q_1\cap P_2Q_2$ es un punto interior, que nos han mostrado es imposible. Por lo tanto, todos los puntos de $\mathcal P\setminus\{P_1,P_2\}$ están en uno de los bordes de la $P_2P_3$ o todos ellos están en $P_1P_3$. En particular, cuatro de los cinco puntos son colineales, contradicción. Llegamos a la conclusión de que $P_1P_2$ contiene puntos de a $\in \mathcal P$ aparte de $P_1$$P_2$. El mismo argumento aplpies a los otros bordes, por lo tanto nos encontramos con $Q_3\in\mathcal P$ $P_1$ y $P_2$, $Q_1\in\mathcal P$ entre el $P_2$ y $P_3$, $Q_2\in\mathcal P$ entre el$P_3$$P_1$. Deje $S=P_3Q_3\cap Q_1Q_2$$T=P_1S\cap P_2P_3$. A continuación, $T$ es ninguno de $Q_1,P_2,P_3$, de ahí que una de las líneas de $TQ_2$, $Q_1Q_2$ no es paralelo a $P_1P_2$ y conduce a un punto de intersección fuera del triángulo, la contradicción.
![enter image description here]()
Algunos comentarios sobre el caso de los cuatro puntos de partida
Si los cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo, es de hecho el caso que nos podemos encontrar en los bordes, las diagonales, y el centro del paralelogramo, pero luego el proceso se detiene
![enter image description here]()
Pero si el casco convexo de los cuatro puntos originales es un triángulo (puntos rojos en la imagen), podemos encontrar varios puntos, entre los que se encuentran los cinco puntos (marcados con círculos verdes) de tal manera que no hay tres de ellos son colineales. Por el análisis anterior, el proceso no se detiene una vez que tenemos estos.
![enter image description here]()
Sigue siendo el caso de que el casco convexo de los cuatro puntos es un cuadrado, pero no es un paralelogramo. Luego de dos no paralelos bordes opuestos, podemos construir cuatro puntos (de nuevo, marcado con círculos verdes) de tal manera que ningún árbol htree como son colineales y su casco convexo es un triángulo. De acuerdo con el párrafo anterior, el proceso no se detiene.
![enter image description here]()
