¿Por qué el dominio y el rango de $\sqrt x$ contienen sólo números reales positivos?

Question

Considere la función $f(x)=\sqrt x$.

Casi todos los recursos que puede encontrar da su dominio como $\{x\in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$ y su rango como $\{y\in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}$

No veo por qué el dominio debe ser restringida a los números positivos. No es la raíz cuadrada de un número negativo definido? Es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es un número complejo de la forma $a + bi$.

Así que ¿por qué no el dominio de $f(x)=\sqrt x$ lugar $\{x\in \mathbb{R}\}$, y el rango de $\{y\in \mathbb{C} \mid y \ge 0\}$?

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

La raíz cuadrada de un número negativo se define cuando se habla de números complejos, pero cuando sólo los números reales son discutidos (como es habitual con la mayoría de cálculo) no hay ninguna ventaja para el uso de los números complejos como las raíces cuadradas.

Answer 2

No una respuesta, pero algo pesado quiero llegar a mi pecho aquí: Algunos de vosotros a hacer declaraciones como "La raíz cuadrada de un número negativo es complejo" Que es desde un punto de vista matemático una manera muy pobre de la "introducción" de los números complejos. Se cae en la misma categoría, afirmando $i=\sqrt{-1}$, mientras que de $i^2=-1$ es un mejor concepto. Un Squareroot de los números negativos son bastante sentido en el mundo real como en el mundo complejo, sin embargo, y de la ecuación como $x^2=-9$ tiene exactamente dos (complejo) de soluciones de reescritura $-9=9i^2$ y, a continuación, tomar las raíces cuadradas (que NO es lo mismo que decir +/-$\sqrt{-9}$) Si realmente queremos considerar el número complejo conjunto como un campo (que complejo analistas quieren), necesitamos a paso de este "squareroot de un número negativo es complejo" noción. Más sobre esto aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

Answer 3

Porque en estos recursos $f$ se define como $$f:A\to B$$ where $a,B\subconjunto \mathbb R$.

Por supuesto función de raíz cuadrada $g(z)=\sqrt z$ se define para cada argumento complejo, por otra parte - es multivalor. Esto significa que, por ejemplo, $g(-4)$ puede ser igual a $2i$ o $-2i$.

La misma situación se puede notar en la recta real; $x^2=4$ tiene dos raíces: $2$$-2$, pero la función de $f$ es de valor único. Eso es porque sólo es una rama de la función raíz cuadrada, su principal valor.

Answer 4

Este conjunto no tiene un significado: $\{y\in \mathbb{C} ~|~ y \ge 0\}$.
Los números complejos no puede ser tan simple en comparación con $\ge$
(a menos que sean los números reales, es decir, a menos que su parte imaginaria es cero).

Estos textos que usted está leyendo, se supone que el lector no sabe, o no quiere saber acerca de los números complejos. Ahora, si el lector sólo conoce los números reales, entonces el número de x debe ser no negativo como la raíz cuadrada no está definido en la negativa de los números reales.

Además, si se mira a la raíz cuadrada de x cuando x es un número complejo, se dará cuenta de que un número tiene más de un complejo de raíces cuadradas. Esto significa que la raíz cuadrada no es realmente una función de, al menos, no una función de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$

Answer 5

El valor real de la función definida por $f(x)=\sqrt x$ dominio $\{x\in\Bbb R:x\ge0\}$. El complejo de valores de la función definida por $g(x)=\sqrt x$ dominio $\Bbb C$. Estas son las diferentes funciones (ya que tienen diferentes dominios).