El valor de $\int _{0}^{1}x^{99}(1-x)^{100}dx$ es

Question

El valor de $\int _{0}^{1}x^{99}(1-x)^{100}dx$ es

No es capaz de hacer. Estoy tratando de substituton. Pero claro fracaso. Por favor, ayudar.

Answer 1

Usted puede simplemente repetidamente integrar por partes: $$\begin{align} \int_0^1 x^{99}(1 - x)^{100}\,dx &= {99 \over 101} \int_0^1 x^{98}(1 - x)^{101}\,dx \\ &= {99 \over 101} {98 \over 102} \int_0^1 x^{97}(1 - x)^{102}\,dx \\ &= {99 \over 101} {98 \over 102} {97 \over 103} \int_0^1 x^{96}(1 - x)^{103}\,dx \\ &\cdots \\ &= 99! {100! \over 199!} \int (1 - x)^{199}\,dx \\ &= {99! \,100! \over 200!} \end{align}$$

Answer 2

Denotar $B(r,s) = \int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{s-1}\ dx$. Entonces su integral es $B(100,101)$, que es precisamente la Función Beta.

Así que su integral es sólo $\frac{99! 100!}{200!}$.

Answer 3

$\int_0^1x^{99}(1-x)^{100}dx=B(100,101)=\frac{99!100!}{200!}$

Answer 4

SUGERENCIA:

El uso de $I=\int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx$

$I+I=\int_a^bf(x)\ dx+\int_a^bf(a+b-x)\ dx$

A continuación, establezca $x=\sin^2\theta$