Qué factor?

Question

Deje $f:F\to G$ $g:F\to H$ grupo homomorphism entre los grupos. Si $\ker f \subset \ker g$, entonces no existe $h:G\to H$ tal que $hf = g$?

Sé que el de la anterior es cierto para espacios vectoriales mediante la ampliación de los linealmente independientes en una base. Creo que lo anterior no es cierto en la categoría de grupos. ¿Qué acerca de finitely generado abelian grupos? Y lo que sobre para abelian grupos? Hay un nombre para esta propiedad?

Answer 1

Si nos encontramos con grupos de $F$, $G$, y $H$ tal que $G$ $H$ tienen ambos subgrupos isomorfo a $F$, pero $G$ no tiene una imagen isomorfo a $F$, entonces podemos usar la incrustación de homomorphisms $$i_G:F\rightarrow G \text{ and }i_H:F\rightarrow H.$$ In particular, given any group $G$ which has a subgroup $F$ and no quotient isomorphic to $F$, we can take $H=F$.

Así, el ejemplo más sencillo sería $F=C_3$, $G=S_3$, y $H=C_3$.

Funciona para el finito abelian grupos, por otro lado, ya que podemos encontrar normal complementos para cualquier subgrupo. (De hecho, este argumento se aplica a finitely generado abelian grupos). Yo no estoy tan seguro acerca de la no-finitely generado caso, o incluso para divisible abelian grupos.

Answer 2

Incluso para cíclico de los grupos no es cierto.

Por ejemplo, tome $F=H=C_2$, $g:F\to H$ el mapa de identidad, y $G=C_4$ $f:F\to G$ de inclusión.

Answer 3

Esto no va a ser verdad ya para inyectiva $f$ $g$ (cuando el núcleo condición es extremadamente satisfecho). Por ejemplo, el grupo cíclico de orden $3$ admite monomorphisms para ambos grupos de orden $6$, pero no hay tal $h$. Es decir, $S_3$ no tiene un cociente de la orden de $3$. Por lo tanto, no hay tal $h: S_3\to C_6$.