Dado que el $\;\cos x =-\frac{3}{4}\,$ $\,90^\circ<x<180^\circ,\,$ $\,\tan x\,$ $\,\csc x.$
Esta pregunta es bastante inusual desde el resto de las preguntas en el capítulo, por favor alguien puede explicar cómo se resuelva este problema? Traté de Teorema de Pitágoras, pero no hubo suerte. Es posible que me enseñe a usar el diagrama circular?
El coseno de un ángulo corresponde a la $x$-coordinar en el círculo unitario, y en el seno de un ángulo cooresponds a su $y$-coordinar en el círculo unidad.
Tenga en cuenta que $\,\cos = -\frac 34 < 0\,$ si y sólo si el ángulo de $x$ termina en el segundo o tercer cuadrante, donde el ángulo de $x$ se mide con respecto a la positiva $x$-eje.
Ya que estamos, dado que el $\,90 \lt x \lt 180,\,$ sabemos que el ángulo de $x$ termina en el segundo cuadrante. Por lo $\sin x > 0$.
Por eso,$\,\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} <0,\;$$\,\csc x = \dfrac{1}{\sin x}>0$.
Ahora, sabemos que por el Teorema de Pitágoras , como se relaciona con la trigonometría identidades, $${\bf \sin^2 x + \cos^2 x = 1} $$ $$ \begin{align} \iff \sin^2 x & = 1 -\cos^2 x \\ \\ \implies \sin x & = \pm \sqrt{1 -\cos^2 x} \\ \\ & = \pm \sqrt{1 - \left(\dfrac {-3}{4}\right)^2} \\ \\ & = \pm \sqrt{\frac 7{16}} \\ \\ & = \pm \frac{\sqrt 7}{4}\end{align}$$ Since we know that in the second quadrant, $\el pecado x > 0$, we take the positive root: $$\sin x = \frac{\sqrt 7}{4}$$
y por lo que tiene todo lo que usted necesita para calcular $$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\sqrt 7/4}{-3/4} = -\left(\dfrac{\sqrt 7}{3}\right)$$ $$\csc x=\dfrac1{\sin x}= \dfrac{1}{\sqrt 7/4} = \dfrac 4{\sqrt 7} $$
Vamos a averiguar los signos más tarde. Dibujar un ángulo recto del triángulo. Llame a uno de los ángulos pequeños,$t$. Queremos que el coseno de $t$ $\frac{3}{4}$ (no es una errata). Así que queremos que la hipotenusa a ser $4$ (por favor, escribir en) y el lado adyacente a ser $3$. Por el Teorema de Pitágoras, el lado opuesto es$\sqrt{16-9}$, $\sqrt{7}$.
A continuación,$\tan t=\frac{\sqrt{7}}{3}$. Y $\csc t=\frac{1}{\sin t}=\frac{4}{\sqrt{7}}$.
Ahora, de vuelta a $x$. Las funciones trigonométricas de $x$ tendrá el mismo valor absoluto como las correspondientes funciones trigonométricas de $t$, pero tal vez diferentes signos.
En el segundo cuadrante, $\tan$ es negativo. Por lo $\tan x=-\frac{\sqrt{7}}{3}$.
En el segundo cuadrante, $\sin$ es positivo. Por lo $\csc x=\frac{4}{\sqrt{7}}$.
Usted debe dibujar un triángulo!
Ellos le dicen que usted está trabajando en el segundo cuadrante, por lo que dibuje un triángulo de referencia y la etiqueta de la base del ángulo de $x$.
Desde el coseno es la relación de los adyacentes ("más"/) a la hipotenusa, sabemos que la longitud del lado adyacente es el numerador $ = 3$.
La longitud de la hipotenusa es el denominador $= 4$... Pero ¿de dónde viene el "-" ir??
La hipotenusa es siempre positivo. Eso, y el hecho de que usted está en la izquierda cuadrante (<=> la coordenada x es negativa) debería indicar que el lado adyacente realmente debe ser etiquetados $-3$. Esto será importante más adelante, como la tangente requiere el lado adyacente.
Ahora usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado opuesto. Es $\sqrt 7$.
A continuación puede encontrar tangente (opuesto sobre adyacente), seno (opuesto sobre hipotenusa), etc. el uso de SOHCAHTOA.
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