Método de coordenadas para la resolución de EDP lineales de primer orden

Question

Tarea : Resolución de la EDP $au_x+bu_y+cu=0$ .
(Fuente: PDE, 2ªE por Walter A. Strauss, Ejercicio 1.2.19. Sin embargo, muchos libros lo tienen).

Solución 1

La EDP se puede transformar por el método de coordenadas mediante $$\begin{cases}x'=ax+by\\y'=bx-ay\\\end{cases}$$ y obtendremos $(a^2+b^2)u_{x'}+cu=0$ , lo que da $u=f(bx-ay)\exp(-\frac{c}{a^2+b^2}x)$ .

Solución 2

Buscando en Google me encontré con esta segunda solución aquí (enlaces a PDF) que establece que podemos hacer otra transformación dejando que $$\begin{cases}x'=-\frac{b}{a}x+y\\y'=x\\\end{cases}$$ y conseguir $u=f(-\frac{b}{a}x+y)\exp(-\frac{c}{a}x)$

Por el enlace, intuyo que al elegir $f(bx-ay)$ inteligentemente, entre las dos soluciones genéricas brillará la equivalencia.

(Estoy al tanto de una tercera solución en la que dividimos el lado izquierdo de la EDP por $u$ y a continuación, establecer $v=\ln(u)$ que dará la misma solución que la solución II. Dios mío, ¿tantas soluciones?)

Reflexiones y preguntas

Creo que la forma de resolver las EDP en la Solución I es bonita y limpia porque elegimos otro sistema de coordenadas ortogonal, y que la Solución II es más difícil de prever porque las coordenadas no son ortogonales. No estoy tan seguro, así que me gustaría hacer las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo demostrar la equivalencia de las dos soluciones genéricas?

2. ¿Cuál es el objetivo de la Solución II? ¿Y cómo consigue el objetivo deseado (por qué se transforma así al ir no ortogonal)?

3. ¿Hay alguna ventaja en utilizar una transformación sobre otra? Si es así, ¿por qué?
   (Veo seguro que al autor del enlace le gusta esta Solución II)
   Me gustaría tener algunas sugerencias geniales.

4. (¡Gracias! Y algo extra al otro lado de la valla).
   No puedo resolver las EDP como:
   $au_x+bu_y+cu=g(x,y)=\exp(dx+ey)$ ¿Qué debo hacer al respecto?

Gracias.

Answer 1

La ecuación implica la derivada direccional de $u$ . Así que queremos resolverlo considerando las líneas con vector de dirección $(a,b)$ ya que en cada una de estas líneas la ecuación se convierte en una EDO. En concreto, se convierte en una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes: $u_t+ku=0$ y sabemos que la aproximación estándar a dicha EDO es buscar soluciones de la forma $u=C\exp(\lambda t)$ . La diferencia entre las soluciones II y III es el orden de operación: podríamos reconocer primero la estructura de coeficiente constante (por lo tanto, tomar un ansatz exponencial) o la estructura direccional primero (por lo tanto, introducir nuevos ejes de coordenadas).

El uso de I o II depende de cómo se den los valores iniciales. Como podemos resolver la ecuación por separado en cada línea en la dirección $(a,b)$ la solución está determinada de forma única por sus valores en cualquier línea que va en cualquier otros dirección. Si conocemos los valores de $u$ en una línea perpendicular a $(a,b)$ la transformación ortogonal de I se ajusta perfectamente a la tarea. Pero si nos dan $u(0,y)$ o $u(x,0)$ entonces será mejor que mantengamos ese eje como una de nuestras coordenadas, sin importar la ortogonalidad.

En cuanto a la IV, es una ecuación no homogénea que se reduce a una EDO no homogénea de la forma $u_t+cu=\alpha \exp(\beta t)$ . La solución se obtiene como una suma de la solución general de la EDO homogénea y una solución particular, que encontrarás en la forma del lado derecho (o, si tienes la mala suerte de dar con la resonancia $\beta=-c$ (el lado derecho es una función lineal). Este es el material estándar de las EDO, http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients