Continuamente diferenciable con restricción en la gradiente implica que la función es convexa

Question

No estoy seguro de lo que los teoremas pertinentes para este problema. He estado buscando a través de Rudin para algunos consejos, pero me han quedado cortos. Este es un ejemplo de pregunta para un examen, así que no a la tarea.

Puede alguien me apunte en la dirección correcta? Gracias.

Una función de $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ se llama convexo si $f$ satifies $$ f(\alpha x + (1 - \alpha)y) \le \alpha f(x) + (1 - \alpha)f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^n,\ 0 \le \alpha \le 1.$$ Suponga que $f$ es continuamente diferenciable y que para algunas constantes $c > 0$, el gradiente de $$(\nabla f(x) - \nabla f(y)) \cdot (x - y) \ge c(x - y) \cdot (x - y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^n,$$ donde $\cdot$ denota el producto escalar. Mostrar que $f$ es convexa.

Answer 1

Deje $x,y\in\mathbb R^n$ y deje $\varphi:[0,1]\rightarrow\mathbb R$ definido por $\delta\mapsto f(x+\delta(y-x))$.
Compruebe que $\varphi'(\delta)=(\nabla f(x+\delta(y-x)))\cdot(y-x)$.
Así que para todos los $\delta\in]0,1]$, $\varphi'(\delta)-\varphi'(0)=\frac{1}{\delta}(\nabla f(x+\delta(y-x))-\nabla f(x))\cdot(\delta(y-x))\ge\delta c \|y-x\|^2$ por su hipótesis.
Observe que la desigualdad también es cierto para $\delta=0$.
A través de la integración : $$\varphi(1)-\varphi(0)\ge\int_0^1\varphi'(0)+\delta c \|y-x\|^2d\delta=\varphi'(0)+\frac{c}{2}\|y-x\|^2\ge\varphi'(0)$$ Y por lo $$f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)\cdot(y-x)$$

Así que para todos los $x,y\in\mathbb R^n$, $f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)\cdot(y-x)$.

Escribir esta última desigualdad para$(x+\delta(y-x),y)$$(x+\delta(y-x),x)$$\delta\in[0,1]$$x,y\in\mathbb R^n$, por lo que $$f(y)\ge f(x+\delta(y-x))+(1-\delta)\nabla f(x+\delta(y-x))\cdot(y-x)$$ $$f(x)\ge f(x+\delta(y-x))-\delta\nabla f(x+\delta(y-x))\cdot(y-x)$$ Multiplicar la primera línea por $\delta$ la segunda línea por $1-\delta$, en suma, y obtendrás : $$\delta f(y)+(1-\delta)f(x)\ge f(x+\delta(y-x))=f((1-\delta)x+\delta y)$$ Por lo $f$ es convexa.