modificar las condiciones de concesión de ayudas asociadas;

Question

Deje $f(x)$ $g(x)$ dos y el aumento de funciones diferenciables de$\Bbb{R}$$\Bbb{R}$. Si $f'(x)>g'(x)$ $\forall x$ entonces existe un intervalo de $[a,\infty)$ para algún número real $a$ que $f(x)>g(x)$.

Este teorema es falso, como se muestra por muchos contador de ejemplos. Pero, ¿cómo puedo modificar las condiciones para que el teorema se cumple.?

Answer 1

No, esto no es cierto. $g$ podría ser una línea, por ejemplo, y $f$ podría aumentar a ella como una asíntota oblicua. Usted necesita $f'>g'+\epsilon$ positivos $\epsilon$, en cuyo caso el teorema fundamental del cálculo se obtiene que el resultado de inmediato.

Answer 2

Usted podría reformular su propuesta de la siguiente manera, teniendo en cuenta $h = f - g$: Si $h$ es una función real diferenciable tal que $h'(x) > 0$ todos los $x$, entonces necesariamente existe una $c$ tal que $h(c) > 0$.

Tenga en cuenta que si $h(c)>0$, ya que el $h' >0$ va a ser cierto que $h(x) > h(c) >0$ todos los $x > c$, por lo que el elemento de la proposición ha sido capturado también.

Cuando se escribe de esta manera creo que se puede ver la improbabilidad de esta afirmación. Hace un contraejemplo vienen a la mente?

Aunque no es de las menos supuestos, esta proposición sería correcto si la función se asume que la creciente y cóncava hacia arriba - desde una cóncava hacia arriba de la función se encuentra por encima de la tangente líneas, y la de la tangente a las líneas de pendiente positiva, la función de tiempo debe ser positivo.

e: me gustaría incluir Kevin el estado de bien - si $h'(x)$ no es sólo positivo, sino $h'(x) > \epsilon$ algunos $\epsilon > 0$, entonces la proposición tiene así.

Answer 3

Deje $h(x)=f(x)-g(x)$ .
$h'(x)>0$ $h(x)$ es estrictamente creciente.
Deje $x>a$ . Sabemos que $$h(x)>h(a)\Rightarrow f(x)-g(x)>f(a)-g(a)\Rightarrow f(x)>g(x)+f(a)-g(a)$$ Si $f(a)-g(a)\geq 0$ podríamos concluir que $f(x)>g(x)$ por cada $x$ mayor que $a$.
Así, una condición suficiente es que hay un $a$ que $f(a)\geq g(a)$ mantiene.