La figura siguiente muestra un camino cerrado en el espacio de parámetros y muestra la variación del estado normalizada vectores propios en $n$ discreto punto a lo largo de la ruta. El último punto de la ruta de $n$ coincide con el primer punto de $0$.
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La fase de Berry es el total del acumulado fases a lo largo de la ruta:
$$ \phi = \lim_{n \to \infty}\arg(\langle 0|1 \rangle\langle 1 |2 \rangle .,.,.,\langle n-1 | n\rangle\langle n | 0\rangle)$$
Esta definición tiene sentido, ya que es invariante gauge y un local de transformación de fase en cada punto de la ruta
$$|k' \rangle = e^{i \alpha_k}|k \rangle$$
no cambia su valor porque:
$$\langle l' |k' \rangle = e^{i \alpha_k - i\alpha_l}\langle l' |k' \rangle$$
Podemos elegir un medidor de transformaciones tales que:
$$|0' \rangle = |0 \rangle$$
(Condición inicial), y
$$\arg(\langle k' |k' +1\rangle) = 0 $$
La segunda condición hace que la dirección del vector propio en el $k+1$ -ésimo punto paralela a la de la $k$ -ésimo punto. Así, en base a $|k' \rangle$, los vectores son paralelos transformado.
Por favor, observe que el último término en la fase de Berry $\langle n | 0\rangle$ puede girarse a cero, debido a que la fase de $|0'\rangle$ es fijado por el estado inicial y la fase de $|n'\rangle$ es fijado por la condición de $\arg(\langle n'-1 |n' \rangle)=0 $. Así que nos queda sólo un término de la fase de Berry :
$$ \phi = \arg(\langle n' | 0'\rangle)$$
Se debe destacar que la expresión anterior es válida sólo en el transporte paralelo medidor de sistema de $\{|k' \rangle\}_{k=0, ., ., ., n}$. El valor de esta fase es igual al valor original debido a la invariancia gauge.
Ir a la continuidad, tenemos:
$$\arg(\langle k |k+1\rangle) \rightarrow \arg(\langle n(t) |n(t+\Delta t)\rangle) $$
Donde en el continuum, utilizamos los puntos de $n$ en el espacio de parámetros para parametrizar los vectores propios; Tenemos:
$$|n(t+\Delta t)\rangle = |n(t)+\frac{d n}{d t} \Delta t \rangle = |n(t)\rangle + \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i}\frac{dR^i}{dt}\Delta t$$
Por lo tanto:
$$\arg(\langle n(t) |n(t+\Delta t)\rangle) =\mathrm{ Im}(\langle n(t) | \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i})\frac{dn^i}{dt}\Delta t$$
(debido a que el vector normalizado, tenemos $\arg(1+x) = \mathrm{Im}(x)$). El producto interior $\langle n(t) | \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i})$
es imaginario puro porque:
$$\mathrm{ Re}(\langle n(t) | \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i}) \rangle= \frac{1}{2} (\langle n(t) | \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i}\rangle + \langle \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i} | n(t)\rangle) = \frac{\partial }{2\partial n^i} \langle n(t)| n(t) \rangle = 0$$
(desde $\langle n(t)| n(t) \rangle =1$).
Por lo tanto podemos escribir la fase de Berry como:
$$ \phi = \oint \langle n(t) | \frac{\partial |n(t)\rangle}{\partial n^i})\frac{dn^i}{dt}d t$$
El integrando en la última expresión es la Baya de conexión.
