Sea $X$ sea un espacio de Banach de dimensión infinita. Demostrar que cada base de Hamel de X es incontable.

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach de dimensión infinita. Demostrar que toda base de $X$ es incontable.

¿Puede alguien ayudarme a resolver este problema?

Answer 1

Parece que la prueba que utiliza el Teorema de la categoría de Baire puede encontrarse en varios lugares de este sitio, pero ninguna de esas preguntas es un duplicado exacto de ésta. Por lo tanto, estoy publicando un CW-respuesta, por lo que esta pregunta no se quede sin respuesta.

Suponemos que un espacio de Banach $X$ tiene una base contable $\{v_n; n\in\mathbb N\}$ . Denotemos $X_n=[v_1,\dots,v_n]$ .

Entonces tenemos:

• $X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty X_n$
• $X_n$ es un subespacio de dimensión finita de $X$ por lo que es cerrado . (Todo espacio normado de dimensión finita es completo, véase PlanetMath . Un subespacio completo de un espacio normado es cerrado. Véase también: El subespacio vectorial normado de dimensión finita es cerrado )
• $X_n$ es un subespacio propio de $X$ por lo que tiene el interior vacío. Véase Todo subespacio propio de un espacio vectorial normado tiene el interior vacío

Así que vemos que $\operatorname{Int} \overline{X_n} = \operatorname{Int} X_n=\emptyset$ lo que significa que $X_n$ es ninguna parte densa . Así que $X$ es una unión contable de subconjuntos densos en ninguna parte, lo que contradice el teorema de la categoría Baire.

---

Algunas referencias adicionales:

Otras preguntas y respuestas sobre MSE

• ¿Existe un ejemplo fácil de un espacio vectorial al que no se pueda dotar de la estructura de un espacio de Banach
• Su aplicación favorita del Teorema de la Categoría de Baire
• Dos problemas: ¿Cuándo una biyección contínua es un homeomorfismo? ¿Cardinalidades posibles de las bases de Hamel?
• En la pregunta Cardinalidad de una base Hamel de $\ell_1(\mathbb{R})$ puede aprender aún más: que la cardinalidad de la base de Hamel es al menos $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ .

En línea

• Los espacios de Banach de dimensión infinita no tienen una base de Hamel contable en PlanetMath
• base incontable de Hamel - publicado por Henno Bradsma de Pregunte a un analista ( Wayback Machine )
• Entrada de blog Incontabilidad de las bases de Hamel para el espacio de Banach II del blog de Matt Rosenzweig

Libros

• Corolario 5.23 en Análisis Dimensional Infinito: A Hitchhiker's Guide por Charalambos D. Aliprantis, Kim C. Border.
• Curso breve sobre la teoría de los espacios de Banach Por N. L. Carothers, p.25
• Ejercicio 1.81 en la teoría de los espacios de Banach: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis por Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler