¿Por qué $\mathbb{Z}$ satisfacer la ACC?

Question

Este puede ser un muy trivial pregunta, pero de alguna manera mi razonamiento demuestra lo contrario de lo que se supone que debe ser.

Mostrar que el conjunto de números enteros $\mathbb{Z}$ satisface el Ascendente de la Cadena de Condición.

Mi trabajo:
Ya que cada ideal es de la forma $(m)$ algunos $m\in\mathbb{Z}$, $m$ aumenta el conjunto de $(m)$ se vuelve menos "denso", entonces ¿cómo puedo mostrar $I_1\subset I_2\subset\dots I_i\subset\dots$? ¿Cómo puede una menos "denso" será un superconjunto de un "más denso"?

¿Cómo podemos explicar la afirmación de ambos en un riguroso y de modo intuitivo?

Si hay algún error en mi razonamiento, por favor corregirlo.

Gracias!

Answer 1

A partir de su descripción de su razonamiento, creo que estás mezclando $\supset$$\subset$, y también quizás confundido acerca de lo que quieres mostrar.

Es verdad que como $m$ aumenta el conjunto de $(m)$ se vuelve menos "denso"; de hecho, uno puede ser más precisos: $$(m)\subseteq(n)\iff n\mid m$$ donde $n\mid m$ " $n$ divide $m$", o en otras palabras "$n$ es un factor de $m$". Por lo tanto, "menos denso" conjuntos están contenidos en el "más denso" establece, como era de esperar. Por lo tanto, dada una colección de los ideales de la $I_i=(m_i)$, son un ascendente de la cadena, es decir, satisfacer $$I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\cdots$$ si y sólo si los enteros $m_i$ satisfacer $$m_2\mathsf{\text{ is a factor of }}m_1,\quad m_3\mathsf{\text{ is a factor of }}m_2,\quad\ldots$$ Esperemos que está claro por qué la cadena de ideales debe estabilizarse.

Usted, a continuación, pedir a

¿cómo puedo mostrar $I_1\subset I_2\subset\cdots I_i\subset\cdots$

pero este no es el ACC. De hecho, la declaración anterior no significa nada - no hemos dicho lo que estos $I_i$'s son. Quiere mostrar que no existe un aumento de la cadena de ideales (o, si usas $\subset$ a la media de $\subseteq$, quiere mostrar que cualquier colección de ideales finalmente se estabilice).

Answer 2

Piense acerca de lo que la contención de los ideales de $\mathbb{Z}$ significa que en términos del primer factorisations. Cuando se $(m) \subseteq (n)$? Esto significa que $n$ tiene factores primos que sólo se producen en el primer factorización de $m$, y con el fin de ir "más adelante" en la secuencia final hasta detener, o terminando en el $1$.

Es definitivamente más fácil de ver esto (al menos para mí) en términos de equivalente de caracterización. El ascendente de la cadena de condición es equivalente a los ideales de ser finitely generado. En el caso de $\mathbb{Z}$, es aún mejor: son individualmente generado.

Answer 3

Aquí es otro enfoque, en su núcleo, es la misma respuesta ya que los otros se dieron, pero se envuelve de manera diferente. Su aplicabilidad a su situación puede depender de teoremas que puede o puede no haber aprendido acerca de la $\Bbb Z$.

Tenga en cuenta que si $I$ es un no-cero ideal, a continuación, $\Bbb Z/I$ es un conjunto finito. Si $I\subseteq J$ $J/I$ es un ideal en el $\Bbb Z/I$, e $(\Bbb Z/I)/(J/I)\cong\Bbb Z/J$. Por lo tanto, el más grande lo ideal es -- el menor el cociente es.

Por lo tanto, un aumento de la secuencia de los ideales corresponde a una disminución de la secuencia de conjuntos finitos. ¿Cuánto tiempo puede la secuencia?

Answer 4

Sugerencia: $ $ para los principales ideales: $\ (a)\supset (b)\!\iff\! a\mid b,\ $ es decir constains $\!\iff\!$ se divide, por lo tanto

$$\begin{eqnarray} \ldots && (a_3) &\supsetneq& (a_2)&\supsetneq&(a_1)\quad {\rm wlog}\ \ a_i \ge 0,\ \ {\rm by}\ \ (a) = (|a|) \\ \iff\ \ldots && \ \ a_3 &\,\mid& \ \ a_2 &\,\mid& \ \ a_1\quad\ \ \text{where each division is proper}\\ \Rightarrow\,\ \ \ldots && \ \ a_3 &<& \ \ a_2 &<& \ \ a_1 \\ \end{eqnarray}$$

Así, la cadena se estabiliza en el ideal con el que menos generador de $\ge 0,\,$, que también es el menor elemento en la (ascendente) de la unión de los ideales. Ver aritméticamente, menos este elemento es el mcd de los generadores, y también el mcd de todos los elementos de la unión de los ideales.

Answer 5

¿Cómo puede una menos "denso" será un superconjunto de un "más denso"?

El pensamiento de la cadena de condiciones como "densidad" en realidad no me parecen un buen modelo mental. Lo que realmente debe ser algo más parecido a "tamaño".

La cadena de condiciones como la ACC y DCC acaba de poner límites en "how deep" o "¿cómo altura" una cadena puede ser. En $\Bbb Z$, usted está tratando de mostrar que usted no puede tener un ser infinitamente alto de la cadena de adecuados elementos de contención. Es decir, es un límite en la velocidad a la que las cadenas pueden crecer en una dirección particular.

¿Por qué es esto? Desde $\Bbb Z$ es un PID, sus ideales son todos principal, y particularmente simple de las relaciones con los demás: $(b)\subseteq (a)$ fib $a$ divide $b$. Pero el teorema fundamental de arithemetic pone límites a lo que puede dividir a $a$, y, por tanto, los límites de lo que puede correctamente se encuentran por encima de $(b)$.

Pero, por otro lado, $\Bbb Z$ admite infinitamente profundo descendente cadenas. Por ejemplo, $(2)\supsetneq(4)\supsetneq(8)\supsetneq\dots$ es posible. Si se diera el caso de que $(2^n)=(2^{n+1})$, $2^{n+1}|2^n$ es no sólo posible debido a la naturaleza de los números enteros.

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Un buen modelo mental de la densidad es algo así como el campo de fracciones de un dominio. Por ejemplo, $\Bbb {Z}$ es muy "denso" (="grande"), en su campo de fracciones de $\Bbb Q$ ya que cada valor distinto de cero subgrupo aditivo de $\Bbb Q$ tiene que tener un valor distinto de cero intersección $\Bbb Z$. En ese sentido $\Bbb Z$ es "gruesa" en $\Bbb Q$ que usted no puede evitar chocar con él.

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Para obtener un mejor sabor de la ACC y DCC, te recomiendo buscar en el sitio para ver algunos ejemplos de un Artinian módulo que no es Noetherian, así que usted puede ver lo que el ejemplo se ve como. Si usted tiene acceso, también puede descremada Conferencias sobre los Módulos y Anillos de Lam, página 228, que es una sección en la finitud de las condiciones de los anillos. Allí usted puede encontrar muchas interesantes variantes de la cadena de condiciones, el cual esperamos que convencerlo de que tales condiciones no son realmente sobre la densidad, sino más bien acerca de la altura y la profundidad.