Hay una infinidad de números primos $p$ tal que $p^2+1$ es divisible por un primo mayor que $p$?

Question

He estado tratando de llegar a una primaria de la construcción, pero fue en vano. Son más avanzadas herramientas necesarias?

Si consideramos un analógica a esta pregunta en la que no se requieren p primo (es decir, si hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $n^2+1$ es divisible por un primo mayor que $n$), entonces la pregunta se convierte en mucho más fácil:

Escoge un prime $p$ $1$ mod $4$, y deje $g$ ser un generador de mod $p$. A continuación, la elección de $n\equiv g^{\frac{p-1}{4}}$ mod $p$,$n<p$, funciona.

Answer 1

Iwaniec ha demostrado a través del tamiz de los métodos de la existencia de infinitos valores de $n$ tal que $n^2+1$ es el producto de $\leq 2$ números primos. Este es, hasta donde yo sé, el más cercano reclamación de Landau de la conjetura sobre la existencia de infinitos números primos de la forma $n^2+1$ (siendo un problema abierto), junto con los resultados de Iwaniec, Friedlander y de Salud Brown acerca de la existencia de infinitos números primos de la forma $a^4+b^2$ (como $2017$) o $a^3+2b^3$. La inserción de la restricción $n\in\mathcal{P}$ en Iwaniec el enfoque y la explotación de Vinogradov estimaciones sobre exponencial de las sumas de los números primos debería ser posible sino todo un desafío técnico. Por otro lado, parece muy poco realista que $\omega(p^2+1)\geq 3$ por cada primer suficientemente grande: yo creo que el contrario puede ser demostrado mediante la demostración de una falta de correlación entre las funciones aritméticas $\omega$$\chi$, $\chi$ siendo un símbolo de Legendre.