Consideremos una ecuación recursiva: $$ a_n = A a_ {n-1} + Ba_ {n-2} $$ Y para este tipo de ecuación, existe la ecuación característica: $ x ^ 2 = Ax + B $ . ¿Qué significa exactamente que esta ecuación es característica ? ¿Estas ecuaciones se basan en una recursividad para cada uno o sólo para una forma como la anterior? ¿Cuál es la ecuación característica?
Respuestas
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Es sólo un nombre, no te fijes demasiado en los nombres de los objetos matemáticos.
La ecuación se origina en esta simple observación: supongamos una secuencia geométrica $1,x,x^2,\dots,x^n$ (con $x\ne0$ ) resuelve la recurrencia dada; entonces debemos tener, para $n\ge 2$ , $$ x^n=Ax^{n-1}+Bx^{n-2} $$ y, eliminando el factor común $x^{n-2}$ obtenemos $$ x^2=Ax+B=0 $$
Si $x$ es una solución a esta ecuación, entonces la secuencia geométrica es efectivamente una solución para la recurrencia. Si $x_1$ y $x_2$ son distintivo soluciones de la ecuación característica, entonces también $$ a_n=\alpha x_1^n+\beta x_2^n $$ es una solución para la recurrencia. Como hemos encontrado una familia de soluciones de dos parámetros, éstas son todo soluciones.
En caso de que la ecuación característica tenga una sola raíz $x_0$ (discriminante cero, dos raíces coincidentes, si se prefiere), entonces se puede demostrar que el conjunto completo de soluciones de la recurrencia es $$ a_n=\alpha x_0^n+ n\beta x_0^n $$
Tenga en cuenta que también deben considerarse las raíces complejas.
Esto se puede generalizar a cualquier ecuación de recurrencia lineal con coeficientes constantes.
¿Por qué se buscan secuencias geométricas como soluciones? Porque son las más sencillas después de las secuencias aritméticas y porque, en este caso, funcionan. ;-) Hay mejores justificaciones, lo sé, pero requerirían argumentos demasiado largos para una respuesta aquí.
En segundo lugar, el conjunto de soluciones de una recurrencia lineal forma un espacio vectorial; si las secuencias $(r_n)$ y $(s_n)$ son soluciones de $a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}$ entonces también lo es la secuencia $n\mapsto \alpha r_n+\beta r_n$ para todos los números (complejos) $\alpha$ y $\beta$ . Pero, como la solución se determina una vez que se fijan los términos $a_0$ y $a_1$ se tiene que este espacio vectorial tiene dimensión $2$ . En particular, una vez que se encuentran dos soluciones linealmente independientes, entonces forman una base de este espacio vectorial.
Si la ecuación característica tiene soluciones distintas $x_1$ y $x_2$ entonces las secuencias geométricas construidas a partir de ellas son linealmente independientes: supongamos $$ \alpha x_1^n + \beta x_2^n = 0 $$ para todos $n$ ; entonces usted tiene (usando $n=0$ y $n=1$ ) $$ \begin{cases} \alpha + \beta=0\\ \alpha x_1+\beta x_2=0 \end{cases} $$ y $$ \det\begin{bmatrix}1 & 1 \\ x_1 & x_2\end{bmatrix}=x_2-x_1\ne0 $$ así que $\alpha=\beta=0$ .
Si la ecuación característica tiene una raíz doble $x_0$ entonces es fácil ver que las secuencias $(x_0^n)$ y $(nx_0^n)$ son soluciones y, de nuevo, de $$ \alpha x_0^n + \beta nx_0^n=0 $$ para todos $n$ se obtiene (usando $n=0$ y $n=1$ ) $$ \begin{cases} \alpha = 0 \\ \alpha x_0+\beta x_0 \end{cases} $$ que conlleva $\alpha=\beta=0$ .
¿Por qué es $(nx_0^n)$ ¿una solución? Tenga en cuenta que $(x_0^n)$ es una solución porque $x_0$ es una raíz. La condición en este caso dice que si ponemos $A=2C$ entonces $B=-C^2$ y $x_0=C$ por lo que podemos escribir la ecuación como $a_n=2Ca_{n-1}+C^2a_{n-2}$ . Ahora, en el caso especial de que $a_n=nx_0^n$ tenemos \begin{align} 2C(n-1)x_0^{n-1}-C^2(n-2)x_0^{n-2} &=x_0^{n-2}(2C(n-1)x_0-C^2(n-2))\\ &=x_0^{n-2}(2x_0^2(n-1)-x_0^2(n-2)\\ &=x_0^{n}(2n-2-n+2)\\ &=nx_0^n \end{align} es decir, $$ nx_0^n=A(n-1)x_0^{n-1}+B(n-2)x_0^{n-2}. $$
Obsérvese que en la ecuación de recurrencia se puede suponer $B\ne0$ o sería más fácil de resolver.
Por lo tanto, también en este caso encontramos dos soluciones linealmente independientes y por lo tanto forman una base del conjunto de soluciones.
Nota añadida
Considere el conjunto $V$ formado por todas las secuencias $r=(r_n)$ es decir, todos los mapas $\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ . Podemos definir la adición de $r=(r_n)$ y $s=(s_n)$ por decretando que $r+s$ es el mapa $n\mapsto r_n+s_n$ . En otras palabras, las secuencias se suman término a término. La multiplicación por escalares es similar: $\alpha r$ es el mapa $n\mapsto \alpha r_n$ (cada término se multiplica por $\alpha$ ).
Verificar que estas operaciones hacen $V$ en un espacio vectorial es estándar.
El conjunto de soluciones de una recurrencia lineal (no sólo de grado $2$ ) es un subespacio: en efecto, si $r$ y $s$ son soluciones, entonces también $\alpha r+\beta s$ es una solución. Para la ecuación dada esto equivale a verificar que $$ (\alpha r_n+\beta s_n)=A(\alpha r_{n-1}+\beta s_{n-1})+B(\alpha r_{n-2}+\beta s_{n-2}) $$ para todos $n$ Una vez que sabemos que $$ r_n=Ar_{n-1}Br_{n-2}\qquad\text{and}\qquad s_n=As_{n-1}Bs_{n-2} $$ para todos $n$ . Lo mismo ocurre con las recurrencias lineales generales.
Dado que la solución de un grado $k$ recurrencia lineal se determina una vez que conocemos su primer $k$ términos, el subespacio de soluciones tiene dimensión $k$ (fijar una prueba para esto). En el caso del grado $2$ sólo dos soluciones linealmente independientes dan una base.
Tolaso
Puntos
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La ecuación característica (o ecuación auxiliar) es una ecuación algebraica de grado $n$ del que dependen las soluciones de un determinado $n$ ecuación diferencial de tercer orden o la solución de una secuencia recursiva. La ecuación característica sólo puede formarse cuando la ecuación diferencial (secuencia recursiva) es lineal, homogénea y tiene coeficientes constantes.
La ecuación característica de la secuencia anterior es la que has escrito.
