El punto de vista abstracto es que la gráfica se caracteriza por su matriz de adyacencia a la permutación. Cuando vemos la matriz de adyacencia como un resumen de transformación lineal, estamos mirando a la conjugación, que es más fuerte. Así que perder algo de información, pero la información que está a la izquierda es todavía interesante. Y en cualquier momento podemos aplicar el álgebra lineal a una situación, que es una buena cosa, porque álgebra lineal es muy fácil en comparación con casi cualquier cosa. (Esto suena trillado, pero es uno de los más utilizados los principios en matemáticas).
Los autovalores de la matriz de adyacencia de describir cerrado paseos en el gráfico. Más precisamente, si $A$ es la matriz de adyacencia, entonces el número total de cerrado camina en la gráfica de la longitud de la $n$ está dado por $\text{tr } A^n$, que es el mismo que $\sum_i \lambda_i^n$ donde $\lambda_i$ son los autovalores. Por lo que conocer los valores propios dice algo acerca de cómo cerrado paseos crecer. Lamentablemente, esta perspectiva no ofrece una interpretación directa de los vectores propios.
Métodos espectrales se aplican particularmente a los gráficos con una gran estructura, tales como fuertemente regular gráficos. En el mejor de los casos uno puede escribir una ecuación de matriz la matriz de adyacencia de reunir y analizar lo que esto nos dice acerca de los autovectores y autovalores pone fuertes restricciones sobre el gráfico. Este es el mecanismo detrás de la norma de la prueba de la clasificación de Moore gráficos de la circunferencia $5$.
No es un bastante concretos interpretación de los valores propios y los vectores propios de la Laplaciano de la matriz, como he explicado en matemáticas.SE la respuesta. La versión corta es que uno puede configurar hasta tres naturales de ecuaciones diferenciales utilizando el Laplaciano, y todos estos dan concreto interpretaciones de los valores y vectores propios:
- La ecuación de onda. Aquí los vectores propios son los "armónicos" de la gráfica: describen la onda estacionaria soluciones de la ecuación de onda, y los autovalores describir las frecuencias de estas ondas resuenan.
- La ecuación del calor. Aquí los vectores propios son todavía los "armónicos" de la gráfica, pero los autovalores describir la velocidad a la cual el calor se desintegra para cada armónico. Moralmente esto es acerca de "movimiento Browniano" en el gráfico, por lo que está relacionado con el paseo aleatorio.
- La ecuación de Schrödinger. Aquí los vectores propios son la energía autoestados de un continuo-tiempo cuántico de paseo aleatorio, y los valores propios son (hasta un constante) autovalores de la energía.
Cuando el grafo es regular, el Laplaciano y de la matriz de adyacencia están relacionados de una manera muy simple; los vectores propios son los mismos, y los valores propios pueden ser fácilmente relacionados unos con otros. Las cosas son más complicadas en el irregular caso.
