$\mathcal{P}(\omega \times \omega)$ contiene una copia de cada ordinal contable

Question

Intento comprender esta prueba de la existencia de un ordinal incontable . No veo por qué $\mathcal{P}(\omega \times \omega)$ contiene una copia de cada ordinal contable como se dice.

Por ejemplo, ¿qué elemento de $\mathcal{P}(\omega \times \omega)$ correspondería a $\omega\cdot 2$ ?

Answer 1

Sea $\alpha$ sea un ordinal contable, y sea $f\colon\omega\to\alpha$ sea una biyección. Entonces la relación $\{\langle m,n\rangle\mid f(m)\in f(n)\}$ es una buena ordenación de $\omega$ con tipo de pedido $\alpha$ (con $f$ siendo el isomorfismo), y es un elemento de $\mathcal P(\omega\times\omega)$ .

Si desea una relación particular que sea isomorfa a $\omega\cdot2$ Toma lo siguiente: $$\{\langle m,n\rangle\mid (m<n\text{ and }m\equiv n\pmod 2)\lor m\text{ is odd, and }n\text{ is even}\}.$$