Probar que si LCMs son iguales, entonces los números son iguales.

Question

¿Cómo puedo probar que si $\text{lcm}(a,a+5)=\text{lcm}(b,b+5)$,$a=b$ ?

Answer 1

Supuse $a$ $b$ fueron positivos enteros.

Tenemos $\mathrm{lcm}(a,a+5) = \frac {a(a+5)}{\gcd(a,a+5)}$, por lo que la igualdad implica la $$\frac {a(a+5)}{\gcd(a,a+5)} = \frac {b(b+5)}{\gcd(b,b+5)}.$$ Pero $\gcd(x,y) = \gcd(x,y+kx)$ todos los $k \in \mathbb{Z}$, de modo que $\gcd(a,a+5) = \gcd(a,5)$$\gcd(b,b+5) = \gcd(b,5)$.

Ahora si $a$ $b$ no son múltiplos de $5$ tenemos $\gcd(a,5) = 1$ $\gcd(b,5) = 1$ $$\frac {a(a+5)}{\gcd(a,a+5)} = \frac {b(b+5)}{\gcd(b,b+5)} \implies \frac{a*(a+5)}{1} = \frac{b*(b+5)}{1} \implies a = b.$$

Si tanto $a$ $b$ son múltiples de $5$$\gcd(a,5) = \gcd(b,5) = 5$, de modo que $$\frac {a(a+5)}{\gcd(a,a+5)} = \frac {b(b+5)}{\gcd(b,b+5)} \implies a(a+5) = b(b+5).$$From here we can conclude that $a=b$ completando el cuadrado ambos lados y usando el hecho de que a,b son positivos.

Editar :

Si $a$ es un múltiplo de a $5$ e no $b$ hemos $$a(a+5)=5b(b+5).$$ But $a=5a'$, then the last equality becomes $$5a′(a′+1)=b(b+5).$$ The left side is a multiple of $5$ but not the right side so this case never happens (same reasoning for the case $b$ multiple of $5$ and not $$).

Answer 2

Como Batominovski señaló en su comentario, $a$ $b$ tienen que ser enteros positivos, de lo contrario hay contraejemplos a la declaración.

Vamos a utilizar las siguientes identidades:

i) $ab=[a,b](a,b)$ donde $[a,b]$ $(a,b)$ indica el $\text{lcm}$ e las $\gcd$$a$$b$, respectivamente.

ii) $[ca,cb]=c[a,b]$.

Tenemos $(a,a+5)\mid (a+5)-a=5$, lo $(a,a+5)=1$ o $(a,a+5)=5$. De forma análoga, $(b,b+5)=1$ o $(b,b+5)=5$. Así que tenemos cuatro casos a analizar:

I) $(a,a+5)=(b,b+5)=1:$ Por la identidad de la primera podemos deducir que $$a(a+5)=[a,a+5]=[b,b+5]=b(b+5).$$ Now, if $a>b$, then $a(a+5)>b(b+5)$ and if $de<b$, then $a(a+5)<b(b+5)$, therefore it must be $a=b$.

II) $(a,a+5)=1$$(b,b+5)=5$. Vamos a escribir $b=5b'$,$b+5=5(b'+1)$. Por otro lado, por la identidad de la primera tenemos $$a(a+5)=[a,a+5]=[b,b+5]=[5b',5(b'+1)]\overset{\text{by (ii)}}=5[b',b'+1]=5b'(b'+1).$$

Por lo tanto, $5\mid a(a+5)$, lo $5\mid a$ y, a continuación,$5\mid a+5$, contradicción; o $5\mid a+5$ y, a continuación,$5\mid a$, la contradicción de nuevo.

III) $(a,a+5)=5$$(b,b+5)=1$. Por la simetría de $a$ $b$ este caso es análogo al anterior.

IV) $(a,a+5)=(b,b+5)=5$. El uso de la identidad de la primera podemos deducir que $$a(a+5)=5[a,a+5]=5[b,b+5]=b(b+5).$$

Por lo tanto, si $a>b$ o $a<b$ tendremos $a(a+5)>b(b+5)$ o $a(a+5)<b(b+5)$, respectivamente. Por lo tanto, debe ser $a=b$.

Answer 3

(1) $a \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{P}: a \mathop \backslash p \implies \exists c: gcd(a,a+p)=gcd(cp,(c+1)p)=p$

(2) $a \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{P}: a \nmid p \implies a \perp (a+p) \implies gcd(a,a+p)=1$

Deje $a,b \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{P}: lcm(a,a+p)=lcm(b,b+p).$ (3)

$(1,2,3) \land a \neq b \implies a \mathop \backslash p \oplus b \mathop \backslash p$.

Elija $a \mathop \backslash p$:

$$\mathbb{N} \ni \frac{a(a+p)}{p^2}= \frac{1}{p} \frac{a(a+p)}{p} = \frac{lcm(a,a+p)}{p}=\frac{lcm(b,b+p)}{p}=\frac{b(b+p)}{p} \notin \mathbb{N}$$

Contradicción. $(3) \implies a=b$