Asaf, lo que están diciendo es falso. En $L[\mu]$, por ejemplo, no hay una única normal de ultrafilter. (A menos que me malinterpreten. Usted está diciendo que para cada $S$ estacionaria costationary, usted puede encontrar una normal $U$$S\in U$, ¿verdad? Obviamente, cualquier normal $U$ cumple que o $S$ o $\kappa\setminus S$$U$, que es lo que usted escribió.)
Edit : Esta es una buena tarea problema. Hay varias soluciones diferentes, y es posible que desee para estudiar luego de ellos. Aquí es una manera de pensar acerca de esto; tal vez no sea la más eficiente, pero es muy útil. Supongamos $U$ $\kappa$ es normal y se concentra en la medibles. A continuación, $\kappa$ es medible en $M$ donde $j:V\to M$ está dado por $U$. Así que hay un $U'$$\kappa$$M$, e $U'$ realmente es normal (en $V$, no solo en $M$). Deje $k:V\to N$ ser dado por $U'$. ¿qué se puede decir acerca de los tamaños de $j(\kappa)$ vs $k(\kappa)$ ?
Aquí es otro enfoque: el Uso de la inducción, el uso de que están en un medibles (por lo que tienen un nivel normal de $U$) y "integrar" a las medidas en pequeñas cardenales testigos de la reclamación. Comprobar que el resultado de la medida es como usted desea.
Permítanme añadir un par de detalles para el primer enfoque (sé que es más complicado que el otro, pero la recompensa vale la pena el esfuerzo):
Si $j:V\to M$ es el ultrapower incrustación por una medida normal $U$$\kappa$, ${}^\kappa M\subset M$ y a partir de esto es fácil comprobar que si $M\models$"$U'$ es una medida normal en $\kappa$", $U'$ es una medida normal en $\kappa$$V$.
Ahora, supongamos que el $U$ se concentra en la medibles. Ya que la identidad representa el $\kappa$$M$, se deduce que el $\kappa$ es medible en $M$, $U'$ como se ha mencionado.
Esencialmente, queremos repetir este proceso: la Forma de la incrustación $k:V\to N$$U'$, y si $U'$ se concentra en la medibles, entonces obtenemos $U''$ $N$ y el formulario de $l:V\to P$, etc. Nos gustaría que este proceso se detenga después de un número finito de veces. Por esto, queremos asociar a una medida normal $U$ $\kappa$ ordinal $\alpha_U$ de tal manera que si $U'$ es en el ultrapower por $U$,$\alpha_{U'}<\alpha_U$.
La manera más fácil de hacer esto es establecer $\alpha_U=j(\kappa)$. Si $U'\in M$, podemos formar en $M$ el ultrapower incrustación por $U'$, llame a $k'$ el resultado, por lo $k':M\to M'$, y recordar que se llama $k:V\to N$ el ultrapower de $V$$U'$. El punto es que $k'(\kappa)=k(\kappa)$, debido a ${}^\kappa M\subset M$, de modo que todas las funciones $f:\kappa\to\kappa$$M$, y este y $U'$ es todo lo que necesitamos para calcular el valor de la integración a $\kappa$.
Pero $M\models$"$j(\kappa)$ es inaccesible, mientras que $k'(\kappa)<(2^\kappa)^+$", por lo $k'(\kappa)<j(\kappa)$, lo $k(\kappa)<j(\kappa)$ o $\alpha_{U'}<\alpha_U$.
A posteriori, este argumento muestra que la relación se $\prec$ normal ultrafilters en $\kappa$ dado por "$U'\prec U$ fib $U'$ pertenece a la ultrapower por $U$" está bien fundada, y por lo que podemos asignar a $U$ el ordinal $o(U)$ dado por su rango en este fundado relación. Este es Mitchell ordenamiento, y es una herramienta muy útil en el gran cardenal de la teoría.
