Encontrar todas las funciones continuas tales que $f(x)^2 = \int_0^x f(\xi)\frac{\xi}{1+\xi^2}d\xi.$

Question

De Spivak

Encontrar todas las funciones continuas tales que $$f(x)^2 = \int_0^x f(\xi)\frac{\xi}{1+\xi^2}d\xi.$$

$f(x)^2$ es claramente diferenciables. Me gustaría escribir $\dfrac{d}{dx}f(x)^2=2f(x)f'(x).$ a fin De justificar esto, quiero decir que $$\sqrt{\left| \int_0^x f(\xi)\frac{\xi}{1+\xi^2}d\xi \right|},$$ which is equal to $|f|,$ is differentiable everywhere except where the value of the integral is zero. So at every point at which $f(x)\neq 0$, $f$ is differentiable, and $$2f(x)f'(x) = f(x) \frac{x}{1+x^2} \implies \\ 4f'(x) = \frac{2x}{1+x^2} \implies \\ f(x) = \frac14 (\log (1+x^2) + C).$$

Ahora, cualquier solución debe tener el valor cero en $x=0$. El comportamiento de la solución a la izquierda del cero y el derecho de cero debe ser analizado por separado ya que no afecta a la otra. Además, el análisis que sigue es simétrica en ambos lados (nota: $\dfrac{\xi}{1+\xi^2}$ es impar), y así podemos determinar las posibles soluciones en $x\geq 0$ y, a continuación, todas las mismas soluciones son igual de buenas (hacia atrás) en $x\leq 0$ (y podemos cortar y pegar los dos de cada lado).

Así que vamos a considerar $x\geq 0$. El "primero" $f$ lo hace después de ser cero durante un período de tiempo no puede ser negativo, ya que, a continuación, $f(x)^2 =\int_0^x f(\xi)\dfrac{\xi}{1+\xi^2}d\xi$ sería negativo para algunos $x$, una contradicción. Por lo tanto, el "primero" no debe de ser positivo. Pero, a continuación, debe seguir las $\log$ sobre una trayectoria ascendente para siempre, por lo que su comportamiento está determinado por todos los tiempos.

Para poner este párrafo anterior en más riguroso del lenguaje, tenga en cuenta que $\log(1+x^2) + C$, una vez que ha positiva derivada en algún momento, debe tener positivos derivados de los siguientes puntos. Desde $f(x)^2 =\int_0^x f(\xi)\dfrac{\xi}{1+\xi^2}d\xi$, no puede ser que $f(x)$ sólo toma valores negativos en cualquier intervalo de $[0,a]$, por lo que si se toma un valor distinto de cero, podemos utilizar el valor medio el teorema de encontrar un punto donde se ha positivos derivados, y, a continuación, su comportamiento está determinado por todo el tiempo después de ese punto. Así que la única pregunta es cuando (si alguna vez) se convierte en positivo. Esto es equivalente a la elección de una solución de la familia

$$\begin{cases} 0 & x\leq \sqrt{e^{-C}-1} \\[12pt] \dfrac{1}{4}(\log(1+x^2) + C) & x > \sqrt{e^{-C}-1} \end{cases}$$ where $C\leq 0$.

Elegir una función de la anterior familia de $x>0$ e (el reflejo de uno por $x<0$ (o tomar el cero de la función para cualquiera de los dos), y tiene una solución.

Ahora podemos comprobar que $$\int_0^x f(\xi)\frac{\xi}{1+\xi^2}d\xi = \frac1{16}(\log (1+x^2) - C)^2 = f(x)^2,\, \,\forall x \text{ s.t. } f>0,$$ de modo que todas las soluciones de la forma anterior, efectivamente satisfacer la diffEQ.

Es mi análisis correcto? ¿Puede alguien ver un impermeable manera?

Answer 1

La solución está bien, pero un poco desordenado sobre el barrio de $x=0$ ("primero", etc). Me gustaría empezar con: supongamos que hay es $x_0>0$ tal que $f(x_0)\ne 0$. Deje $a=\sup \{x<x_0 : f(x)=0\}$ y observar que $a\ge 0$ porque $f(0)=0$. También, vamos a $b=\inf\{x>x_0:f(x)=0\}$; esto se entiende como $b=\infty$ si el conjunto está vacío.

En el intervalo de $(a,b)$ tenemos $f'(x) = \dfrac12 \dfrac{x}{x^2+1}$, por lo tanto $f(x) = \dfrac14\ln(x^2+1)+C$. Ya que esta función es creciente y $f(a)=0$, se deduce que

• $f>0$ $(a,b)$
• $b=\infty$.

Esto completa la imagen en $(0,\infty)$: la función es idéntica $0$ no, o es de la forma $\dfrac14\left(\ln(x^2+1)+C\right)^+$.

La misma descripción se aplica a $\tilde f(x)=f(-x)$, que también satisface la integral dada la ecuación.