Cómo podía yo saber que $X^4+1$$(X^2+\sqrt 2X+1)(X^2-\sqrt 2X+1)$?

Question

Pensé que $X^4+1$ era irreductible, pero en realidad, $$X^4+1=(X^2+\sqrt 2X+1)(X^2-\sqrt 2X+1).$$

En general, ¿cómo puedo tener la intuición de tal factorización si yo no lo sabes ?

Answer 1

Hay un truco aquí, que es útil en otras circunstancias. Voy a hacerlo a través de los números reales $$ x^{4} + 1 = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 2 x^{2} = (x^{2} + 1)^{2} - (\sqrt{2} x)^{2} = (x^{2} + 1 - \sqrt{2} x) (x^{2} + 1 + \sqrt{2} x). $$ Así que es sólo completando el cuadrado.

Answer 2

Sugerencia

Usted puede fácilmente resolver $X^4+1=0$ $\mathbb C$ e identificar que producto de dos monic están en $\mathbb R[X]$.

Answer 3

Hay una especie de culminación de la plaza que va como esto: \begin{align} x^4+1 & = \underbrace{(x^4+2x^2 + 1)}_\text{This is a square.} - \underbrace{(2x^2)}_\text{So is this.} \\[10pt] & = \left( x^2+ 1 \right)^2 - (\sqrt 2\ x)^2 \\[10pt] & = (x^2 + 1 - \sqrt 2\ x)(x^2 + 1 + \sqrt2\ x). \end{align}

Answer 4

De hecho $$(x^2 - x+1)(x^2 + x+1)$$ $$ = (x^2+1 -x)(x^2+1 +x)$$ $$= (x^2+1)^2 -x^2$$ (remember the $\alpha^2-\beta^2 =(\alpha \beta)(\alpha + \beta)$ formula? here $\alpha = x^2+1$ and $\beta = -x $) $$ = x^4 + x^2 +1$$

Bien, si usted realmente quiere factor de $x^4+1$, ver aquí. Espero que ayude.

Answer 5

Sabemos que $$a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)$$

Esta es una identidad bien conocida, más fácilmente identificables a partir de la diferencia entre dos cuadrados. Se llama Sophie Germain Identidad=

Poniendo en $x=\sqrt{2} a$, $$x^2+1=(x^2+\sqrt{2} x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$$ A pesar de que el primer paso es innecesario, lo he añadido como es generalmente útil de la fórmula.