Una Expresión para la Cuña de Producto

Question

Para la siguiente pregunta, tengo las siguientes definiciones y conceptos en mente: El $k^{th}$ potencia exterior de un verdadero espacio vectorial $V$, denotado $\Lambda^k(V)$ puede ser comprendido como el cociente el producto tensor $\bigotimes^k V$ con el subespacio de $\bigotimes^k V$ generado por todos los elementos de la forma $v_1 \otimes \dots \otimes v_k$ donde $v_i = v_j$ algunos $i \neq j$. La clase de equivalencia de a $(v_1, \dots, v_k)$ en $\Lambda^k(V)$ se denota por a $v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$; puede ser pensado como la imagen de $(v_1, \dots, v_k)$ en virtud de la canónica alternando multilineal mapa que envía cada elemento en $V^k$ a su clase de equivalencia en $\Lambda^k(V)$. Por la característica universal de la parte exterior del producto, entiendo que cada alternando multilineal forma definida en $V^k$ puede identificarse con una única forma lineal con dominio de $\Lambda^k(V)$. Por último, sé que el determinante de un endomorfismo $T:V\rightarrow V$ puede ser definido como el único número real $\det T$ tal que $$Tv_1 \wedge \cdots \wedge Tv_n = (\det T)v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$$

Mi Pregunta: es un hecho que si $\phi^i, \dots, \phi^k$ son lineales formas en $V$ $$\phi^1 \wedge \cdots \wedge \phi^k(v_1, \dots, v_k) = \det[\phi^i(v_j)]$$ Esto puede ser demostrado mediante los hechos descritos anteriormente, sin tener que recurrir a la combinatoria definición del determinante de a/cuña producto?

Answer 1

Por favor, consulte mi respuesta a mi propia pregunta :) yo tenía casi la misma pregunta de la tarea y finalmente me di cuenta de una prueba de esa declaración.

manipulación algebraica de forma diferenciada