Deje $p$ ser una de las primeras. Si un grupo tiene más de $p − 1$ elementos de orden $p$, ¿por qué no puede el grupo cíclico?

Question

Necesito ayuda para demostrar el siguiente resultado

Deje $p$ ser una de las primeras. Si un grupo tiene más de $p − 1$ elementos de orden de $p$, ¿por qué no puede el grupo cíclico?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si $G=\langle g\rangle $ es cíclico de orden $n$ y $n=ap$, $p$ primo, entonces precisamente los elementos $g^a, g^{2a}, \ldots g^{(p-1)a}$ tienen orden de $p$.

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O para decirlo de otra manera: Vamos a $H$ ser el núcleo de $x\mapsto x^p$. A continuación, $H$ se compone de todos los elementos con el fin de un divisor de a $p$, mientras que la imagen se compone de todos los elementos $g^{kp}$. Como el orden de la imagen es, pues,$\frac np$, a la orden del kernel $H$ debe $p$. Pero como $H$ también contiene un elemento de orden $\ne p$ (es decir, el elemento neutro), llegamos a la conclusión de que hay en la mayoría de las $p-1$ elementos de orden $p$.

Tenga en cuenta que este segundo método no hacer uso del hecho de que $p$ es primo. Es suficiente para suponer que el$p>1$$p|n$.

Answer 2

Sugerencias:

1) Si $\,G\,$ es un grupo cíclico de orden $\,n\,$ , entonces para cualquier divisor $\,d\,$$\,n\,$, existe exactamente un subgrupo único de $\,G\,$ orden $\,d\,$ , que también es cíclico .

2) Un grupo cíclico de orden $\,m\,$ $\,\phi(m)\,$ diferentes generadores , con $\,\phi=$ el totient de la función de Euler.

3) Para cualquier prime $\,p\;,\;\;\phi(p)=p-1\,$ ...