Recíproca de Fubini-Tonelli del teorema de

Question

Por Fubini-Tonelli del teorema, sabemos que si $E\in \mathbb{R^{n+m}}$ $f: \mathbb{R^{n+m}}\to \mathbb{R_{>0}}$ son medibles y $f$ integrable, luego las secciones $E_x=\{y\in \mathbb{R^m}: (x,y)\in E\}$ $E_y$ son medibles.

Sé que el recíproco es falso, pero yo no "ven" un ejemplo donde ambas secciones son mensurables, sino $E$ no (para la medida de lebesgue).

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

Aquí es bastante "simple" contra-ejemplo de uso de Borel (o Lebesgue) $\sigma$-álgebra y la medida de Lebesgue $m$. Considere la posibilidad de $[0,1]$ y deje $\omega_1$ ser la primera innumerables ordinal. Suponiendo que la Hipótesis continua, hay un bijection $o:[0,1] \to \omega_1$.

Definir $E=\{(x,y)\in [0,1]^2 : o(x)<o(y)\}$. Entonces, para todos los $x\in [0,1]$, $$E_x = \{y\in [0,1] : o(x)<o(y)\} =[0,1] - \{y\in [0,1] : o(y)\leqslant o(x)\}$$ por lo $E_x$ es el complemento (en $[0,1]$) de una contables subconjunto. Por lo $E_x$ es medible y $m(E_x)=1$.

Ahora, para todos los $y\in [0,1]$, $$E_y = \{x\in [0,1] : o(x)<o(y)\}$$ por lo $E_y$ es una contables subconjunto de $[0,1]$. Por lo $E_y$ es medible y $m(E_y)=0$.

Reclamo: $E$ no es medible

Vamos a demostrar por contradicción. Supongamos que $E$ es medible. A continuación, $\chi_E$ es un valor no negativo función medible y, por Tonelli del teorema, tenemos

$$ 0= \int_0^1 \left(\int_0^1 \chi_E(x,y) dx \right ) dy = \int_0^1 \left(\int_0^1 \chi_E(x,y) dy \right ) dx =1$$ Contradicción.

Observación: El conjunto de $E$ anterior es un conjunto de Sierpinski.

Observación 2: supongo que usted estaba buscando una contra-ejemplo de uso de Borel (o Lebesgue) $\sigma$-álgebra. De lo contrario, no son simples ejemplos de lo contrario.

Comentario 3: Usted escribió que, por Fubini-Tonelli del teorema, sabemos que si si $E\in \mathbb{R^{n+m}}$ es medible
a continuación, las secciones $E_x=\{y\in \mathbb{R^m}: (x,y)\in E\}$ $E_y$ son medibles.

Esto no es cierto si usted está considerando la Lebesgue $\sigma$-álgebra. Por otra parte, en este caso, Fubini-Tonelli del teorema implica sólo que $E_x$ $E_y$ son medibles para casi todas las $x$ y casi todos los $y$ (respectivamente).