Posible falla en la "prueba" de que una suma de dos operadores compactos es compacto

Question

Si X e y son espacios de Banach, y $A: X \to Y$, $B: X \to Y$ son a la vez compacto operadores, $A + B$ es compacto.

A + B es compacto si y sólo si para cada delimitada secuencia $\lbrace x_n \rbrace$ en X, la secuencia de $\lbrace (A + B) x_n \rbrace$ tiene un convergentes larga; ciertamente $\lbrace A x_n \rbrace$ $\lbrace B x_n \rbrace$ cada uno tiene un convergentes larga, y yo he visto un par de pruebas que parecen pensar que es más fácil que esto implica $\lbrace (A + B) x_n \rbrace$ tiene uno. Esto no parece muy correcto para mí.

La forma en la que aparece uno debe tratar de hacer un convergentes larga es cruzan los índices de los convergentes subsecuencias para a y B de forma individual. Así, por ejemplo, si $\lbrace A x_{n_j} \rbrace$$\lbrace B x_{n_k} \rbrace$, entonces la idea es tomar el conjunto de los índices de $\lbrace n_m \rbrace := \lbrace n_j \rbrace \cap \lbrace n_k \rbrace$ y decir que $\lbrace (A + B) x_{n_m} \rbrace$ converge como una suma de dos subsecuencias de la convergentes subsecuencias de a y B.

Pero, ¿y si esa intersección es vacía, por ejemplo si $\lbrace n_j \rbrace = 1, 3, 5, ...$$\lbrace n_k \rbrace = 2, 4, 6, ...$? Instintivamente, yo diría que "si son disjuntos, solo tienes que elegir un par diferente", pero, ¿cómo puede uno estar seguro de que la intersección no es vacía para cualquier elegido par de convergentes subsecuencias?

Para ser claros, yo creo que a + B es compacto, es esta forma de prueba del hecho de que parece dudoso para mí.

Answer 1

Encontrar un convergentes larga para $A$, luego tomar un sub-larga para $B$. Usted no necesariamente se cruzan dos subsecuencias, pero usted puede tomar fácilmente un sub-larga.

Answer 2

Si usted tiene dos secuencias, decir $\{a_n\}$$\{b_n\}$, y suficientemente ordenada condiciones, entonces ambos tienen un convergentes larga indexados por el mismo mismo conjunto de índices. Formalmente, me refiero a que existe una sequenece de enteros $\{n_1<n_2<n_3<\cdots\}$ tanto $\{a_{n_i}\}_{i=1}^\infty$ $\{b_{n_i}\}_{i=1}^\infty$ ambos convergen.

Para garantizar esto, usted va a necesitar, ya sea

1. cada una de las $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ mentir en algún conjunto compacto (incluso si mienten si diferentes conjuntos compactos, funciona); o
2. cada una de las $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son limitadas así que usted puede aplicar algún tipo de Bolzano-Weierstrass.

Estos son la misma prueba, aunque.

De hecho, usted puede conseguir este "común subsequence truco" es mucho más general: en lugar de dos secuencias de $\{a_n\}$$\{b_n\}$, usted puede tener countably muchas secuencias $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$, $\ldots$. Es la misma prueba.

Para dos secuencias es realmente muy fácil de escribir. Deje $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ ser acotado, y decir $\{a_n\}$ ha convergente subsequence $\{a_{n_i}\}$. Pero, a continuación, $\{b_{n_i}\}$ tiene un convergentes larga porque está delimitada --- decir $\{b_{n_{i_k}}\}$ converge. Pero ahora $\{a_{n_{i_k}}\}$ es una larga de $\{a_{n_i}\}$, por lo tanto también es convergente. Por lo tanto $\{n_{i_1} < n_{i_2} < n_{i_3} < \cdots\}$ es el conjunto de índices.

Para el caso de la countably muchas secuencias, se puede imaginar cómo proceder. La parte más difícil es la racionalización de la notación.

¿Ves cómo aplicar esto para probar que la suma de dos operadores compactos es compacto?

Answer 3

Considere lo siguiente:

Tenemos las secuencias $\{Ax_n\},\{B x_n\},$$\{(A+B)x_n\}$.

Comenzamos por encontrar el convergente larga de la primera secuencia; es decir, nos encontramos con una secuencia de índices de $\{n_i\}$ tal que $\{A_{n_i}\}$ converge. Tenga en cuenta que cualquier subsequence de esta secuencia convergente también deben converger.

Ahora nos encontramos con un convergentes larga de la secuencia de $\{B x_{n_i}\}$ sobre los índices $n_{i_j}$ (lo que voy a escribir simplemente como $n_j$, por conveniencia). Tenga en cuenta que tanto $\{A_{n_j}\}$ $\{B_{n_j}\}$ convergen.

Answer 4

En el hecho de que tienes que hacerlo poco a poco:

Tome $x_{n_j}$ tal que $Ax_{n_j}$ converge y, a continuación, tomar una sub-subsequence $x_{n_{j_k}}$ tal que $Bx_{n_{j_k}}$ converge

Answer 5

Hay varias maneras de deshacerse de esta dificultad:

• usted todavía puede extraer o secuencia (por $B$) a partir de una extracción convergente larga para $A$.

• o bien, tomar un equivalente a la definición de un operador compacto: este es un operador para que la imagen de una bola compacta.