Construcción explícita de un nonmeasurable set, donde sólo la prueba de la corrección de los usos elección?

Question

Por Solovay del teorema, suponiendo la existencia de un cardinal inaccesible, el axioma de elección es necesaria para demostrar la existencia de nonmeasurable conjuntos. En el pasado, he pensado que una consecuencia de este teorema es que si me la construcción de un conjunto sin necesidad de utilizar la opción (o incluso la mera utilización dependiente de la elección), entonces ya no tiene que preocuparse acerca de ser nonmeasurable.

Pero ahora me doy cuenta de que me estaba haciendo un supuesto injustificado. No estoy seguro de cuál es la manera apropiada de hacer precisamente frase esta pregunta, pero me pregunto: ¿hay un no Lebesgue medibles set $E \subseteq \mathbb{R}$ que puede ser definido explícitamente? Me estoy imaginando que quizás $E$ puede ser definido sin invocar la opción (a diferencia de Vitali conjuntos o sus primos), pero luego resulta que $E$ es nonmeasurable requiere de la elección. Es esta posibilidad también descartó por Solovay del teorema de alguna manera?

Answer 1

Si usted puede probar que su definición se define algo, entonces, en particular, definir algo en Solovay del modelo, y que algo en particular, no un nonmeasurable conjunto.

Así que lo mejor que puede esperar es una definición explícita de un subconjunto de a $\mathbb R$, de tal manera que la cosa se define en algunos modelos de ZF ser un nonmeasurable conjunto.

Y de hecho este es el caso: Desde pointwise definibles modelos de ZFC existir, como un modelo contendrá un nonmeasurable conjunto y que tendrá una definición explícita en el lenguaje de la teoría de conjuntos. (De hecho, como Asaf señala en los comentarios, no necesitamos apelar a pointwise definidos por los modelos aquí; no es una fórmula especial que recoge los primeros nonmeasurable subconjunto de $\mathbb R$ en cualquier modelo de $\mathbf V=\mathbf L$, donde la "primera" está de acuerdo con el global bien de la orden, y esta una fórmula de trabajo para la $\mathbf L$ de cada modelo de ZF).

Incluso podemos organizar que esta definición particular siempre que probablemente se encuentre define algunos subconjunto de $\mathbb R$ -- si nuestro elemento de la pointwise definibles por el modelo es el único conjunto que satisface la fórmula $\phi(x)$, luego $$ \{ y\in \mathbb R \mid \exists x: \phi(x)\land y\in x \} $$ se define un subconjunto de a $\mathbb R$ en cada modelo, y que al menos a veces ser que no se pueden medir.

Answer 2

De la wikipedia: $\:$ "En particular Krivine (1969) demostró que no era un modelo de
de ZFC en el que cada ordinal definibles por el conjunto de los reales es medible, ..."
Por lo tanto ZFC no prueba que no es definible nonmeasurable conjunto.

El uso explícito de definibles por el bien de la orden en $\mathbb{R}\hspace{-0.04 in}\cap$OD para ejecutar una Vitali construcción
da un conjunto explícito que no se puede medir si $\: \mathbb{R} \subset \hspace{.04 in}$OD$\;$.