¿Cuántas formas hay de definir el seno y el coseno?

Question

A veces hay muchas formas de definir un concepto matemático, por ejemplo el logaritmo de base natural. ¿Y el seno y el coseno?

Gracias.

Answer 1

(Esta lista no es en absoluto exhaustiva).

Definición de triángulo rectángulo El seno (coseno) de un ángulo agudo es la relación entre las longitudes del cateto opuesto (adyacente) al ángulo dado y la hipotenusa del triángulo.

Definición Geométrica Bizarra El coseno de un ángulo en un triángulo es $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ , donde $a$ y $b$ son las longitudes de los lados adyacentes al ángulo y $c$ es la longitud del lado opuesto al ángulo; el seno de un ángulo agudo es el coseno de su complemento; el seno de un ángulo obtuso es el coseno de su complemento. ( edit: esta podría ser incluso peor de lo que había pensado originalmente como definición, así que tal vez sólo ignorarla. )

Definición de rotación-transformación El seno (coseno) de una magnitud de rotación es la coordenada vertical (horizontal) de la imagen del punto (1,0) bajo una rotación de la magnitud dada centrada en el origen.

Definición del círculo de la unidad El seno (coseno) de un ángulo dirigido con vértice en el origen y rayo inicial en el eje x positivo es la coordenada y (coordenada x) del punto de intersección del rayo terminal del ángulo con el círculo unitario centrado en el origen.

Definición de la serie de potencia : $$\begin{align} \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \\\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \end{align}$$

Definición exponencial : $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i};\quad\quad\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

Answer 2

Una construcción interesante es la que da Michael Spivak en su libro Cálculo, capítulo 15. Los pasos son básicamente los siguientes:

$1.$ Definimos lo que es un ángulo dirigido. $2.$ Definimos un círculo unitario por $x^2+y^2=1$ y demostrar que todo ángulo entre el $x$ -y una línea originada en $(0,0)$ define un punto $(x,y)$ en ese círculo.

$3.$ Definimos $x = \cos \theta$ y $y = \sin \theta$ .

$4.$ Observamos que el área del sector circular es siempre $x/2$ Así que tal vez podamos definir estas funciones explícitamente con este hecho:

$5.$ Definimos $\pi$ como el área del círculo unitario, esto es:

$$\pi = 2 \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$$

$6.$ Damos una fórmula explícita para el área del sector circular, a saber

$$A(x) = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\int_x^1 \sqrt{1-t^2}dx$$

y demostrar que es continua, y que toma todos los valores de $0$ a $\pi/2$ . También podemos graficarlo, ya que podemos demostrar que $2A(x)$ es en realidad la inversa de $\cos x$ .

$7.$ Definimos $\cos x$ como único número en $[-1,1]$ tal que

$$A(\cos x) = \frac{x}{2}$$

y así definir

$$\sin x = \sqrt{1-\cos^2x}$$

$8.$ Demostramos que para $0<x<\pi$

$$\cos(x)' = - \sin(x)$$

$$\sin(x)' = \cos(x)$$

$9.$ Finalmente extendemos las funciones a todos los valores reales mostrando que para $\pi \leq x \leq 2\pi$ ,

$$-\sin(2\pi-x) = \sin x$$

$$\cos(2\pi-x) = \cos x$$

y luego que

$$\cos(2\pi k+x) = \cos x$$

$$\sin(2\pi k+x) = \sin x$$

Answer 3

Me gusta la vieja definición utilizando el triángulo rectángulo.

$$\sin\theta = b/c$$

$$\cos\theta = a/c$$

Answer 4

Una vez definido el seno, se puede definir el coseno como el seno del ángulo complementario, es decir $\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ . Así que podrías reducir tu pregunta a pedir varias formas de definir el seno.

Answer 5

Prueba esto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin

Haga clic en todos los "más" - ¡también funciona, por supuesto, para "cos"!