Campo de funciones de una hipersuperficie afín

Question

Estoy leyendo Hulek' Elementary Algebraic Geometry, p.103

Dejemos que $V$ sea una hipersuperficie afín irreducible, digamos $V=V(f)\subset\Bbb{A}^n$ . Entonces el anillo de coordenadas es por definición $k[V]=k[x_1,\ldots,x_n]/(f)$ . Supongamos que $f$ contiene la variable $x_1$ . Entonces $$k(V)=k(x_2,\ldots,x_n)[x_1]/(f)$$ ¿alguien puede explicarme muy amablemente esta identificación?

Answer 1

Por suposición $k[x_1,\dotsc,x_n]/(f) \cong k[x_2,\dotsc,x_n][x_1]/(f)$ es un dominio integral. De ello se desprende que $f$ es irreducible sobre $k[x_2,\dotsc,x_n]$ como un polinomio en $x_1$ . Por supuesto, no es constante. Por lo tanto, el lema de Gauss nos dice que permanece irreducible sobre $k(x_2,\dotsc,x_n)$ . Esto significa que $k(x_2,\dotsc,x_n)[x_1]/(f)$ es un campo. Dado que contiene $k[x_1,\dotsc,x_n]/(f)$ como un subring y es generado por él, debe ser su campo de fracciones.

Answer 2

El punto crucial es que $f$ que es irreducible en $k[x_2,\ldots,x_n][x_1]$ es todavía irreducible en $k(x_2,\ldots,x_n)[x_1]$ Esto no es trivial, pero se deduce de un resultado de Gauss sobre los UFD.
Por lo tanto, $L:=k(x_2,\ldots,x_n)[x_1]/(f)$ es un campo.

Lo evidente $k$ -morfismo $k[V]=k[x_1,\ldots,x_n]/(f)\to L=k(x_2,\ldots,x_n)[x_1]/(f)$ se extiende a un morfismo $$k(V)=\text {Frac} (k[x_1,\ldots,x_n]/(f))\to L=k(x_2,\ldots,x_n)[x_1]/(f)$$ De nuevo, esto no es obvio, pero resulta de Gauss: si un polinomio $g\in k[x_1,\ldots,x_n]$ no es un múltiplo de $f$ en $k[x_2,\ldots,x_n][x_1]$ entonces $g$ no será un múltiplo de $f$ sur $k(x_2,\ldots,x_n)[x_1]$ o bien.

Una vez que tenemos este morfismo de $k$ -extensiones $k(V)\to L$ el resultado se deduce fácilmente: como todos los morfismos con fuente un campo es inyectivo y la subjetividad es clara una vez que te das cuenta de que un polinomio en $h\in k[x_2,...,x_n]$ es invertible en $k(V)$ porque $h$ no puede ser un múltiplo de $f$ desde $f$ contiene $x_1$ y $h$ no lo hace.

Bibliografía
Una gran referencia sobre los resultados de Gauss en los UFDs es Artin's Álgebra , Teorema (3.9) del capítulo 11, página 401.
Tenga en cuenta que los resultados de este teorema son elementales pero bastante sutiles y que es fácil cometer errores en sus enunciados.