Límite de la integral definida de la secuencia

Question

Esto es tomado de un examen de admisión con un libro de texto en nuestro local de la construcción de la universidad :

$$ \lim_{n\to\infty} n\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2(1+x^n)}dx = ?$$

Traté de encontrar estrechos límites con el fin de utilizar el teorema del sandwich, pero que me llevó a ninguna parte. También probé el uso de Lebesgue del Teorema de Convergencia Dominada, pero terminé con la nada, una vez más.

¿Tienes alguna idea?

Answer 1

El uso de \begin{align} \frac{1}{1+x^{n}} = \frac{1}{x^{n}} \, \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{n}}} = \frac{1}{x^{n}} \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{x^{kn}} \end{align} entonces \begin{align} I_{n} &= \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^{2} \, (1+x^{n})} \\ &= \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n+2}} \, \left( 1 - \frac{1}{x^{2n+2}} + \cdots \right) \, dx \\ &= - \frac{1}{n+1} \left[ \frac{1}{x^{n+1}} \right]_{1}^{2} + \frac{1}{2n+1} \, \left[ \frac{1}{x^{2n+1}} \right]_{1}^{2} + \cdots \\ &= \frac{1}{n+1} \, \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}} \right) + \frac{1}{2n+1} \, \left( \frac{1}{2^{2n+1}} - 1 \right) + \cdots \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{nk+n+1} \, \left( 1 - \frac{1}{2^{nk+n+1}} \right) \end{align} Ahora, \begin{align} \lim_{n\to\infty} \left\{ n \, I_{n} \right\} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k+1} = \ln 2. \end{align}

Answer 2

Deje $x=y^{1/n}.$, Entonces la expresión es igual a

$$\int_1^{2^n}\frac{dy}{y^{1+1/n}(1+y)}.$$

Un sencillo dominado convergencia argumento, a continuación, muestra el límite de lo anterior es

$$\int_1^{\infty}\frac{dy}{y(1+y)} = \ln 2.$$

Answer 3

Deje $f_n(x)$ ser la secuencia de funciones en $[1,2]$ dada por

$$f_n(x)=\frac{n}{x^2(1+x^n)}$$

Además, vamos a $I(n)$ denotar la integral de $f_n(x)$

$$\begin{align} I(n)&=\int_1^2f_n(x)\,dx\\\\ &=\int_1^2\frac{n}{x^2(1+x^n)}dx \end{align}$$

Vamos a evaluar el límite de $\lim_{n\to \infty}I(n)$.

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En primer lugar, observamos que para $1<x\le2$,

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{x^2(1+x^n)}\right)=0$$

pero eso $f_n(1) \to \infty$. Por lo tanto, todos los de la "acción" de la integral se produce en un pequeño barrio de $x=1$. Con eso en mente, hemos de fijar un número $\delta >0$, y los de split $I(n)$ como sigue:

$$\begin{align} I(n)&=\int_1^2\frac{n}{x^2(1+x^n)}dx\\\\ &=\int_1^{1+\delta}\frac{n}{x^2(1+x^n)}dx+\int_{1+\delta}^2\frac{n}{x^2(1+x^n)}dx \tag 1 \end{align}$$

Tenga en cuenta que la segunda integral en $(1)$ va a cero, como se $n$ va al infinito. Ahora procedemos a evaluar la primera integral.

$$\begin{align} \int_{1}^{1+\delta}\frac{n}{x^2(1+x^n)}dx&=\int_2^{1+(1+\delta)^n}\frac{(x-1)^{-1-1/n}}{x}dx\tag 2\\\\ &=\int_{\log 2}^{\log(1+(1+\delta)^n)}(e^x-1)^{-1-1/n}dx \tag 3\\\\ &\to \int_{\log 2}^{\infty}\frac{1}{e^x-1}dx\tag 4\\\\ &=\left.\log(1-e^{-x})\right|_{\log 2}^{\infty}\\\\ &=\log 2 \end{align}$$

Poniendo todo junto, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to\infty}\int_1^2\frac{n}{x^2(1+x^n)}dx=\log 2}$$

lo que concuerda con los resultados reportados por @Leucippus!

En llegando a $(2)$, hemos sustituido $x\to (x-1)^{1/n}$.

En lo que va de $(2)$$(3)$, hemos sustituido $x\to e^x$.

En lo que va de $(3)$$(4)$, se observó que, como $n\to \infty$, la parte superior de integración se acerca el límite de $\infty$ $(e^x-1)^{-1+1/n} \to (e^x-1)^{-1}$