Estoy leyendo a través de mis notas sobre la evolución de los grafos aleatorios y se han despegado tratando de averiguar el significado de un término probabilístico que aparece, y tenía la esperanza de que usted podría ayudar - no es muy complejo, no creo.
Estoy trabajando en el espacio de grafos aleatorios $G_{n,p}$; gráficos en $n$ vértices con todos los bordes de tener (independiente) probabilidad de $p$ de los existentes. Estoy en el tramo final de un multi-parte de la prueba, y para esta parte final quiero mostrar que el "número de vértices del árbol de componentes" está dada por un número aleatorio para satisfacer una determinada condición que creo que no necesita especificar aquí, a pesar de que puedo hacer si sirve de ayuda. Hemos especificado $p = \frac{\gamma \log{n}}{n}$ donde $\gamma$ es un número entre el $\frac{1}{k+1},\,2$ (e $k \geq 1$ es un valor necesario en otros lugares en la prueba).
Así, la línea que no puedo entender es como sigue, copiado textualmente:
$\mu_l = \mathbb{E}(\text{# vertices on } l\text{-tree components}); \sum_{2}^k \mu_l = 2 \sum {n\choose l} l^{l-2} ( \frac{\gamma \log{n}}{n})^{l-1} (1 - \frac{\gamma \log{n}}{n})^{ln}$.
Estoy claro precisamente lo $\mu_l$ es en realidad el objetivo de definir la expectativa de (el número total de vértices que se encuentran precisamente en un árbol de tamaño exactamente $l$, tal vez?), pero estoy tratando de deducir de la suma.
Así que, tan lejos como puedo resolver las cosas, estamos diciendo $\mu_l = 2 {n \choose{l}} l^{l-2}p^{l-1} (1-p)^{ln}$: a mí me parece que $n \choose l$ surge como el número de maneras que usted puede elegir $l$ de la $n$ vértices del grafo, $l^{l-2}$ es el número total de árboles posible en estos $l$ vértices (Cayley de la fórmula) y $p^{l-1}$ es la probabilidad de tener el $(l-1)$ los bordes del árbol en $l$ vértices, como ocurre en la expectativa de lo que es en realidad una expectativa de.
Sin embargo, yo no puedo ver donde el factor de $2$ e las $(1-p)^{ln}$ provienen de: $(1-p)^j$ generalmente corresponde a la fijación de un cierto número $j$ de los bordes como no presente en el gráfico, pero para $j=nl$ que sugeriría usted quiere tener todos los posibles bordes de algunos $l$ vértices a algunos $n$ vértices que no están presentes; pero $n$ vértices sería, por supuesto, todo el gráfico, por lo que no tiene sentido. Me pregunto si puede ser que falte algo, y en su lugar debe ser (por ejemplo,) $j=l(n-l)$?
Son las notas copié mal (no creo que lo son, mi amigo notas son iguales), o es sólo una cuestión de entender lo que esta expectativa es de? O tal vez mi signo igual debe ser un 'aproximadamente igual a'. Estoy seguro de que va a ser evidente tan pronto como alguien se señala lo que me falta, así que no te preocupes por entrar en excesivos detalles, con todas las respuestas, sólo una breve explicación de lo que el término puede significar sería la calurosa bienvenida, si tienes mejores ideas que yo. Muchas gracias.
